Составители:
Рубрика:
Пусть в неравенстве (34) – (35) 𝜃
∗
𝑛
= ¯𝑥 , а
𝑓
𝜉
(𝑥, 𝜃)) = (1/𝜎
√
2𝜋) exp
{
−
(𝑥 − 𝑎)
2
2𝜎
2
}
– нормальный закон распределения с математическим ожидани-
ем 𝑎 (соответственно 𝜃 = 𝑎 ).
Вычислим информацию Фишера (35):
𝐼(𝜃) = 𝑀
[
(
∂
∂𝑎
ln
(
1
𝜎
√
2𝜋
exp
{
−
(𝑥 − 𝑎)
2
2𝜎
2
}))
2
]
=
= 𝑀
[
(
∂
∂𝑎
(
ln
(
1
𝜎
√
2𝜋
)
−
(𝑥 − 𝑎)
2
2𝜎
2
))
2
]
= 𝑀
[
(
𝑥 − 𝑎
𝜎
2
)
2
]
=
=
𝑀[(𝑥 − 𝑎)
2
]
𝜎
4
=
𝜎
2
𝜎
4
=
1
𝜎
2
.
Таким образом, правая часть неравенства (34) равна
𝜎
2
𝑛
.
Левую часть неравенства (34) 𝐷[𝜃
∗
𝑛
] = 𝐷[
¯
𝑋] мы уже вычислили.
Согласно (33) она также равна
𝜎
2
𝑛
.
Неравенство (34) превращается в равенство. Это означает эф-
фективность выборочного среднего как оценки математического
ожидания нормальной генеральной совокупности.
Мы воспользовались при доказательстве эффективности
оценки неравенством Крамера–Рао для непрерывной случайной
случайной величины. Аналогично можеть быть рассмотрен
дискретный случай.
Состоятельность ¯𝑥. Пусть 𝑎 – оцениваемый параметр (ма-
тематическое ожидание генеральной совокупности), 𝜎
2
– диспер-
сия генеральной совокупности. Рассмотрим неравенство Чебыше-
ва в форме (2)
𝑃 (∣𝜉 − 𝑀[𝜉]∣ ≥ 𝜖) ≤
𝐷[𝜉]
𝜖
2
.
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
