Составители:
Рубрика:
Так как 𝜉
𝑖
и 𝜉
𝑗
независимые случайные величины, то
𝑀[𝜉
𝑖
𝜉
𝑗
] = 𝑀[𝜉
𝑖
]𝑀[𝜉
𝑗
] (см., например, ]1]). Дисперсия генераль-
ной совокупности 𝜎
2
= 𝛼
2
− 𝛼
2
1
, где 𝛼
1
= 𝑀[𝜉
𝑖
] и 𝛼
2
= 𝑀[𝜉
2
𝑖
]
– соответственно первый и второй начальные моменты генераль-
ной совокупности.
Из (36) получим
𝑀[𝐷
∗
] =
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖
𝛼
2
−
1
𝑛
2
𝑛
∑
𝑖
𝛼
2
−
1
𝑛
2
𝑛
∑
𝑖∕=𝑗
𝛼
2
1
=
(
𝑛 − 1
𝑛
)
𝛼
2
−
−
(
𝑛 − 1
𝑛
)
𝛼
2
1
=
(
𝑛 − 1
𝑛
)
(𝛼
2
− 𝛼
2
1
) =
(
𝑛 − 1
𝑛
)
𝜎
2
. (37)
Итак, 𝑀[𝐷
∗
] ∕= 𝜎
2
, то есть 𝐷
∗
– смещённая оценка дисперсии
𝜎
2
генеральной совокупности. Однако,
lim
𝑛→∞
𝑀[𝐷
∗
] = lim
𝑛→∞
(
𝑛 − 1
𝑛
)
𝜎
2
= 𝜎
2
,
что означает асимптотическую несмещённость этой оценки.
Замечания
1. Можно предложить другую оценку дисперсии – исправ-
ленную выборочную дисперсию 𝑠
2
, вычисляемую по формуле:
𝑠
2
=
𝑛
𝑛 − 1
𝐷
∗
=
1
𝑛 − 1
𝑘
∑
𝑖=1
𝑛
𝑖
(𝑥
𝑖
− ¯𝑥)
2
. (38)
Такая оценка будет несмещенной. Ей соответствует исправ-
ленное выборочное среднее квадратическое отклонение
𝑠 =
√
𝑠
2
=
v
u
u
⎷
1
𝑛 − 1
𝑘
∑
𝑖=1
𝑛
𝑖
(𝑥
𝑖
− ¯𝑥)
2
. (39)
36
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
