Составители:
Рубрика:
В нашем случае 𝜉 =
¯
𝑋, 𝑀[𝜉] = 𝑀[
¯
𝑋] = 𝑎, 𝐷[𝜉] = 𝐷[
¯
𝑋] =
𝜎
2
𝑛
и 𝑃 (∣
¯
𝑋 − 𝑎∣ ≥ 𝜖) ≤
𝜎
2
𝑛𝜖
2
.
При 𝑛 → ∞ правая часть неравенства для любого 𝜖 > 0 стре-
мится к нулю:
lim
𝑛→∞
(𝑃 (∣
¯
𝑋 − 𝑎∣ ≥ 𝜖)) = 0 .
Таким образом, выборочное среднее ¯𝑥 является состоятель-
ной оценкой математического ожидания 𝑎 , так как стремится
к нему по вероятности при устремлении объёма выборки 𝑛 к
бесконечности.
Выборочная дисперсия 𝐷
∗
как пример смещённой
оценки дисперсии генеральной совокупности 𝜎
2
Исследуем несмещённость выборочной дисперсии 𝐷
∗
. Пред-
ставим ¯𝑥 и
¯
𝑥
2
как случайные величины (см. (32)):
¯
𝑋 =
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
,
¯
𝑋
2
=
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
2
𝑖
.
Согласно (27) 𝐷
∗
=
¯
𝑋
2
− (
¯
𝑋)
2
. Тогда
𝑀[𝐷
∗
] = 𝑀[
¯
𝑋
2
− (
¯
𝑋)
2
] = 𝑀
⎡
⎣
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
2
𝑖
−
(
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
)
2
⎤
⎦
=
=
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝑀[𝜉
2
𝑖
] −
1
𝑛
2
𝑛
∑
𝑖=1
𝑛
∑
𝑗=1
𝑀[𝜉
𝑖
𝜉
𝑗
] .
Разобъём двойную сумму в на две, выделив отдельно сумми-
рование по 𝑖 = 𝑗 ,
𝑀[𝐷
∗
] =
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝑀[𝜉
2
𝑖
] −
1
𝑛
2
𝑛
∑
𝑖=1
𝑀[𝜉
2
𝑖
] −
1
𝑛
2
𝑛
∑
𝑖∕=𝑗
𝑀[𝜉
𝑖
𝜉
𝑗
] . (36)
35
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
