Составители:
Рубрика:
Эффективность ¯𝑥. Найдём сначала дисперсию выбороч-
ного среднего. Из свойств дисперсии [1] следует, что
𝐷[
¯
𝑋] = 𝐷
[
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
]
=
1
𝑛
2
𝐷
[
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
]
=
1
𝑛
2
𝑛
∑
𝑖=1
𝐷[𝜉
𝑖
] =
=
1
𝑛
2
𝑛
∑
𝑖=1
𝜎
2
=
𝑛𝜎
2
𝑛
2
=
𝜎
2
𝑛
;
𝐷[
¯
𝑋] =
𝜎
2
𝑛
. (33)
Заметим, что 𝐷[
¯
𝑋] стремится к нулю при 𝑛 → ∞ .
Для проверки эффективности оценки воспользуемся неравен-
ством Крамера–Рао.
Пусть 𝜃
∗
𝑛
– несмещённая оценка параметра генеральной со-
вокупности 𝜃 по выборке объёмом 𝑛. Тогда для непрерывной
случайной величины 𝜉 с плотностью распределения вероятности
𝑓
𝜉
(𝑥, 𝜃) , зависящей от параметра 𝜃 :
𝐷[𝜃
∗
𝑛
] ≥
1
𝑛𝐼(𝜃)
, (34)
где 𝐼(𝜃) – информация Фишера
𝐼(𝜃) = 𝑀
[
(
∂ ln 𝑓
𝜉
(𝑥, 𝜃)
∂𝜃
)
2
]
. (35)
Несмещённая оценка параметра 𝜃
∗
𝑛
будет эффективной, ес-
ли для неё неравенство Крамера–Рао обращается в равенство. В
этом случае дисперсия данной оценки наименьшая из возможных
и она в некотором смысле лучше всех остальных.
Очевидно, что дальнейшее рассмотрение предполагает знание
распределения случайной величины 𝜉. Возвращаюсь к выбороч-
ному среднему ¯𝑥, в качестве примера, мы рассмотрим генераль-
ную совокупность с нормальным законом распределения.
33
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
