Составители:
Рубрика:
Пример 2.6. Пусть 𝜉 ∼ 𝑁(𝑎, 𝜎
2
) - нормальная генеральная
совокупность с известной дисперсией 𝜎
2
. Найти методом макси-
мального правдоподобия параметр 𝑎 .
Решение. Для нормального закона распределения
𝑓
𝜉
(𝑥) =
1
𝜎
√
2𝜋
exp
−
(𝑥 − 𝑎)
2
2𝜎
2
построим функцию правдоподобия (𝑛 – объём выборки)
𝐿(𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
, 𝑎) =
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝜉
(𝑥
𝑖
) =
1
𝜎
√
2𝜋
𝑛
𝑛
𝑖=1
exp
−
(𝑥
𝑖
− 𝑎)
2
2𝜎
2
.
В данной задаче удобнее использовать логарифмическую
функцию правдоподобия. Отбросим сомножитель
1
𝜎
√
2𝜋
𝑛
, не
зависящий от параметра 𝑎 и получим (𝑙(𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
, 𝑎) = 𝑙(⃗𝑥, 𝑎)):
𝑙(⃗𝑥, 𝑎) = ln
𝑛
𝑖=1
exp
−
(𝑥
𝑖
− 𝑎)
2
2𝜎
2
= −
𝑛
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝑎)
2
2𝜎
2
. (48)
Составим уравнение правдоподобия
∂
∂𝑎
𝑙(⃗𝑥, 𝑎) =
𝑛
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝑎)
𝜎
2
= 0 , (49)
решая которое получим ˜𝑎 – оценку параметра 𝑎:
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
=
𝑛
𝑖=1
˜𝑎 = 𝑛˜𝑎 , ˜𝑎 =
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
. (50)
Осталось проверить, что при 𝑎 = ˜𝑎 функция 𝑙(⃗𝑥, 𝑎) достигает
своего максимума. Для этого сосчитаем
∂
2
∂𝑎
2
𝑙(⃗𝑥, 𝑎) = −
𝑛
𝜎
2
.
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
