Составители:
Рубрика:
Поскольку
∂
2
∂𝑎
2
𝑙(⃗𝑥, ˜𝑎) ≤ 0 , то ˜𝑎 – действительно максимум
логарифмической функции правдоподобия.
Таким образом, как и следовало ожидать, выборочная
оценка математического ожидания нормального распределения
𝑎 совпала с выборочным средним ¯𝑥 .
Пример 2.7. Для нормальной генеральной совокупности
(𝜉 ∼ 𝑁(𝑎, 𝜎
2
)) найти методом максимального правдоподобия па-
раметры 𝑎 и
𝜎
2
.
Решение. В отличие от предыдущего примера, в данной
задаче следует оценить сразу два неизвестных параметра: 𝑎 и
𝜎
2
. Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид
𝑙
⃗𝑥, 𝑎,
𝜎
2
= −
𝑛
2
ln(𝜎
2
) −
𝑛
2
ln(2𝜋) −
𝑛
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝑎)
2
2 (𝜎
2
)
. (51)
Отбросив в (51) слагаемые, которые не зависят от 𝑎 и
𝜎
2
,
напишем систему уравнений правдоподобия (47):
∂
∂𝑎
𝑙
⃗𝑥, 𝑎,
𝜎
2
=
𝑛
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝑎)
(𝜎
2
)
= 0 ,
∂
∂ (𝜎
2
)
𝑙
⃗𝑥, 𝑎,
𝜎
2
=
𝑛
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝑎)
2
2 (𝜎
2
)
2
−
𝑛
2 (𝜎
2
)
= 0 .
(52)
Решая (52), получим
˜𝑎 =
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
,
˜𝜎
2
=
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− ˜𝑎)
2
.
(53)
Чтобы убедиться, что при ˜𝑎 и
˜𝜎
2
достигается максимум
функции правдоподобия , следует найти вторые производные
42
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
