Составители:
Рубрика:
Находим, что △ =
𝑛
2
2 (˜𝜎
2
)
3
> 0 и
∂
2
∂𝑎
2
𝑙
⃗𝑥, ˜𝑎,
˜𝜎
2
= −
𝑛
(˜𝜎
2
)
< 0 .
Таким образом, достаточные условия существования макси-
мума функции двух переменных выполнены и мы можем утвер-
ждать, что задача решена.
Параметр 𝑎 оценивается в методе максимального правдопо-
добия выборочным средним ¯𝑥, а параметр
𝜎
2
– выборочной
дисперсией 𝐷
∗
. Заметим, что полученная оценка
𝜎
2
является
смещённой.
Пример 2.8. Пусть 𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
– выборка объёмом 𝑛 из
распределения Пуассона 𝑝(𝑘, 𝜆) =
𝜆
𝑘
𝑘 !
exp(−𝜆) , где (𝜆 > 0). Най-
ти методом максимального правдоподобия оценку
˜
𝜆 параметра
распределения 𝜆 .
Решение. Построим функцию правдоподобия:
𝐿(⃗𝑥, 𝜆) =
𝑛
𝑖=1
𝑝
𝜉
(𝑥
𝑖
,
⃗
𝜃) =
𝑛
𝑖=1
𝜆
𝑥
𝑖
𝑥
𝑖
!
exp(−𝜆) =
𝜆
∑
𝑥
𝑖
𝑥
𝑖
!
exp(−𝑛𝜆) =
=
𝜆
𝑛¯𝑥
𝑥
𝑖
!
exp(−𝑛𝜆) , где ¯𝑥 =
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
– выборочное среднее.
Как и в предыдущих примерах, в дальнейших расчётах удоб-
нее использовать логарифмическую функцию правдоподобия:
𝑙(⃗𝑥, 𝜆) = ln
𝜆
𝑛¯𝑥
𝑥
𝑖
!
exp(−𝑛𝜆)
= 𝑛¯𝑥 ln(𝜆) − ln
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
! − 𝑛𝜆 . (56)
Тогда
∂
∂𝜆
𝑙(⃗𝑥, 𝜆) =
𝑛¯𝑥
𝜆
− 𝑛 = 0 .
Точка экстремума
˜
𝜆 – решение уравнения
𝑛¯𝑥
˜
𝜆
−𝑛 = 0 , то есть
˜
𝜆 = ¯𝑥.
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
