Составители:
Рубрика:
Доверительные интервалы для среднего
квадратического отклонения нормального
распределения
Случай известного математического ожидания
Рассмотрим случай, когда у выборки с нормальным законом
распределения известно значение математического ожидания 𝑎 и
требуется оценить только 𝜎 или дисперсию 𝐷[𝜉] = 𝜎
2
.
При известном математическом ожидании несмещённой оцен-
кой дисперсии является выборочная дисперсия 𝐷
∗
= (𝜎
∗
)
2
(25).
Рассмотрим случайную величину
𝐻 =
𝑛 (𝜎
∗
)
2
𝜎
2
=
𝑛
𝜎
2
⋅
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
(𝜉
𝑖
− 𝑎)
2
=
𝑛
∑
𝑖=1
(
𝜉
𝑖
− 𝑎
𝜎
)
2
. (70)
Cтоящие под знаком суммы (70) случайные величины
(𝜉
𝑖
−𝑎)/𝜎 имеют стандартный нормальный закон распределения
𝑁(0, 1) , а 𝐻 имеет распределение 𝜒
2
𝑛
(хи-квадрат) с 𝑛 степенями
свободы как сумма квадратов 𝑛 независимых стандартных
нормальных случайных величин. Свойства распределения 𝜒
2
𝑛
приведены в Приложении.
Определим доверительный интервал из условия
𝑃
(
𝜒
2
1,𝑛
<
𝑛 (𝜎
∗
)
2
𝜎
2
< 𝜒
2
2,𝑛
)
=
∫
𝜒
2
2,𝑛
𝜒
2
1,𝑛
𝑓
𝜒
2
𝑛
(𝜒
2
)𝑑𝜒
2
= 𝛾 , (71)
где 𝑓
𝜒
2
𝑛
(𝜒
2
) – плотность распределения хи-квадрат и 𝛾 – надёж-
ность (доверительная вероятность).
Величина 𝛾 численно равна площади заштрихованной фигу-
ры на рис. 2.5 .
52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
