Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ V
j
⇔ f(2
−j
·) ∈ V
0
, j ∈ Z.
V
j
j
L
2
(R)
k2
−j
V
j
⊂ V
j+1
,
\
V
j
= {0},
[
V
j
= L
2
(R). (9)
f ∈ L
2
(R)
lim
j→+∞
kf − P
j
fk = 0, lim
j→−∞
kP
j
fk = 0. (10)
j f ≈ P
j
f
j → −∞ P
j
f
L
2
(R)
j ∈ Z
V
j+1
= V
j
⊕ W
j
, (11)
W
j
V
j
V
j+1
P
j+1
f = P
j
f +Q
j
f, kP
j+1
fk
2
= kP
j
fk
2
+kQ
j
fk
2
, f ∈ L
2
(R), j ∈ Z. (12)
Q
j
f
j f (j + 1)
{V
j
} {a
jk
}
{W
j
} {d
jk
}
a
j−1,k
=
a
j,2k
+ a
j,2k+1
√
2
, d
j−1,k
=
a
j,2k
− a
j,2k+1
√
2
(13)
a
j,2k
=
a
j−1,k
+ d
j−1,k
√
2
, a
j,2k+1
=
a
j−1,k
− d
j−1,k
√
2
. (14)
j s ∈ N
P
j
f = P
j−1
f + Q
j−1
f = ··· = P
j−s
f + Q
j−s
f + ··· + Q
j−1
f. (15)
è
                         f ∈ Vj ⇔ f (2−j ·) ∈ V0 ,             j ∈ Z.
Çíà÷èò, âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç Vj ïîñòîÿííà íà äâîè÷íûõ èíòåðâàëàõ ðàíãà j .
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ ïîëíîòó â L2 (R) ìíîæåñòâà êóñî÷íî ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé
ñî ñêà÷êàìè â äâîè÷íî ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ k2−j , ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ
                                  \                     [
                   Vj ⊂ Vj+1 ,        Vj = {0},             Vj = L2 (R).                 (9)

Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé f ∈ L2 (R) âåðíû ðàâåíñòâà

                     lim kf − Pj f k = 0,             lim kPj f k = 0.                  (10)
                    j→+∞                             j→−∞

Òàêèì îáðàçîì, ïðè óâåëè÷åíèè j ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè f ≈ Pj f óáû-
âàåò ê íóëþ, à åñëè j → −∞, òî ïðîåêöèè Pj f ñòðåìÿòñÿ ê íóëåâîìó ýëåìåíòó
ïðîñòðàíñòâà L2 (R).
   Äëÿ ëþáîãî j ∈ Z èìååì

                                   Vj+1 = Vj ⊕ Wj ,                                     (11)
ò.å. Wj ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì Vj â Vj+1 . Îòñþäà ïîëó÷àåì
ðàâåíñòâà

 Pj+1 f = Pj f + Qj f,   kPj+1 f k2 = kPj f k2 + kQj f k2 ,          f ∈ L2 (R), j ∈ Z. (12)
Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî Qj f ñîäåðæèò "äåòàëè", íåîáõîäèìûå äëÿ ïåðåõîäà îò
j -ãî óðîâíÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè f ê áîëåå òî÷íîìó (j + 1)-ìó óðîâíþ.
Ñîîòâåòñòâåííî, ïîäïðîñòðàíñòâà {Vj } ( è êîýôôèöèåíòû {ajk }) íàçûâàþò
àïïðîêñèìèðóþùèìè, à ïîäïðîñòðàíñòâà {Wj } (è êîýôôèöèåíòû {djk }) 
äåòàëèçèðóþùèìè.
    Èç ôîðìóë (3) è (6) ñëåäóþò ðàâåíñòâà
                           aj,2k + aj,2k+1                     aj,2k − aj,2k+1
                aj−1,k =         √         ,        dj−1,k =         √                  (13)
                                   2                                   2
è
                      aj−1,k + dj−1,k             aj−1,k − dj−1,k
               aj,2k =      √         , aj,2k+1 =       √         .  (14)
                              2                           2
Ðàâåíñòâà (13) è (14) çàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ïðÿìîå è îáðàòíîå äèñêðåòíûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ Õààðà.
    Ïðè ôèêñèðîâàííîì j è ëþáîì s ∈ N èç (12) ïîëó÷àåì

         Pj f = Pj−1 f + Qj−1 f = · · · = Pj−s f + Qj−s f + · · · + Qj−1 f.             (15)




                                               50

Страницы