Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 10 стр.

                                                    d 2 K x (τ)
                                        K y (τ) = −             .                                         (3.3)
                                                       dτ 2

                                  Решение типовых задач

        Задача 3.1. Случайный процесс задан следующим выражением
                         dX (t )
Y (t ) = sin t ⋅ e −αt ⋅         + cos t + 1. Определить математическое ожидание
                          dt
этого процесса и корреляционную функцию.
        Решение. Используя свойства математического ожидания и выраже-
ние (3.1), определим математическое ожидание заданного процесса:
                                                                    dmx (t )
                   m y (t ) = M [Y (t )] = sin t ⋅ e −αt ⋅                   + cos t + 1.
                                                                      dt
Используя свойства корреляционной функции и выражение (3.2), опреде-
лим корреляционную функцию:
                                                            − αt1        − αt 2   ∂ 2 K x (t1 , t 2 )
                   K y (t1 , t 2 ) = sin t1 ⋅ sin t 2 ⋅ e           ⋅e                                .
                                                                                      ∂t1∂t 2
         Задача 3.2. Случайный процесс задан следующим выражением
          dX (t )                                                        −α τ
Y (t ) =          . Корреляционная функция определена как K x (τ) = Dx e      .
           dt
Определить корреляционную функцию заданного случайного процесса
Y (t ) .
         Решение. Для τ < 0 корреляционная функция имеет вид:
                                              d 2 K x (τ)
                              K y (τ) = −           2
                                                          = −α 2 Dx e ατ .
                                                 dτ
Для τ ≥ 0 корреляционная функция имеет вид:
                                            d 2 K x (τ)
                            K y (τ) = −                       = −α 2 D x e −ατ .
                                                dτ 2
Для любого τ корреляционная функция имеет вид:
                                          d 2 K x ( τ)             −α τ
                             K y ( τ) = −       2
                                                       = −α 2 Dx e      .
                                             dτ
                     Задачи для самостоятельного решения
         Задача 3.3. Случайный процесс задан следующим выражением
          dX (t )
Y (t ) =          . Определить математическое ожидание этого процесса и кор-
           dt
реляционную функцию, если заданы


                                                                                                            10