Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

8
∫
∫∫
ττ+=
=ττ+=ττ+=
t
x
tt
y
dmwt
dXMwtdXwtMtm
0
00
.)()1(sin
])([)1(sin])()1[(sin)(
Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением
(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
.),()1)(sin1(sin),()()(),(
212
00
121212121
12
ττττ++=ϕϕ=
∫∫
ddKwtwtttKttttK
tt
xzy
Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся
выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
∫∫
ττττ+=ϕ=
tt
xxy
ddKwttDttD
00
2121
22
.),()1(sin)()()(
Задача 2.2. Случайный процесс задан следующим выражением
.1cos)()1()(
0
++ττ+=
∫
α
wtdXetY
t
t
Опередить математическое ожидание, корреляционную функцию и дис-
персию, если заданы
.),(,1)(
21
21
23
tt
xx
eettKttttm
α−α−
⋅=+++=
Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-
ся выражением (2.1), первым и вторым свойствами математического ожи-
дания:
.1cos)1)(
234
(
1cos)1()1(1cos)()1(
1cos])([)1(]1cos)()1[()(
234
0
23
0
00
++++++=
=++τ+τ+τ+τ+=++ττ+=
=++ττ+=++ττ+=
α
αα
αα
∫∫
∫∫
wtet
ttt
wtdewtdme
wtdXMewtdXeMtm
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
y
Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением
(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
).1)(1)(1)(1(
1
)1)(1(),()()(),(
2121
12
2121
2
21
00
212121
tttt
tt
tt
zy
eeee
ddeeeettKttttK
α−α−αα
ατ−ατ−αα
−−++
α
=
=ττ++=ϕϕ=
∫∫
                                                   t                                           t
                   m y (t ) = M [(sin wt + 1) ∫ X (τ)dτ] =(sin wt + 1) M [ ∫ X (τ)dτ] =
                                                   0                                           0
                                              t
                           = (sin wt + 1) ∫ m x (τ)dτ.
                                              0

Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением
(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:

                                                                                       t1 t2
 K y (t1 , t 2 ) = ϕ(t1 )ϕ(t 2 ) K z (t1 , t 2 ) = (sin wt1 + 1)(sin wt 2 + 1) ∫ ∫ K x (τ1 , τ 2 )dτ1dτ 2 .
                                                                                       00


Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся
выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:
                                                                        t t
                       D y (t ) = ϕ 2 (t ) Dx (t ) = (sin wt + 1) 2 ∫ ∫ K x (τ1 , τ 2 )dτ1dτ 2 .
                                                                        00


       Задача 2.2. Случайный процесс задан следующим выражением
                                                       t
                                Y (t ) = (e αt + 1) ∫ X (τ)dτ + cos wt + 1.
                                                       0

Опередить математическое ожидание, корреляционную функцию и дис-
персию, если заданы

                        mx (t ) = t 3 + t 2 + t + 1, K x (t1 , t 2 ) = e − αt1 ⋅ e − αt2 .

     Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-
ся выражением (2.1), первым и вторым свойствами математического ожи-
дания:
                            t                                                   t
 m y (t ) = M [(e αt + 1) ∫ X (τ)dτ + cos wt + 1] = (e αt + 1) M [ ∫ X (τ)dτ] + cos wt + 1 =
                            0                                                   0
               t                                             t
 = (e αt + 1) ∫ m x (τ)dτ + cos wt + 1 = (e αt + 1) ∫ (τ3 + τ 2 + τ + 1)dτ + cos wt + 1 =
               0                                             0

      t4 t3 t2
 =(     + + + t )(e αt + 1) + cos wt + 1.
      4 3 2
Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением
(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:
                                                                               t1 t2
      K y (t1 , t 2 ) = ϕ(t1 )ϕ(t 2 ) K z (t1 , t 2 ) = (e αt1 + 1)(e αt2 + 1) ∫ ∫ e −ατ1 e −ατ2 dτ1dτ 2 =
                                                                               00
                        1 αt1
                   =     2
                           (e + 1)(e αt2 + 1)(1 − e −αt1 )(1 − e −αt2 ).
                       α


                                                                                                              8

Страницы