Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

12
∫
∞
∞−
τ
=τ dwewSK
iw
xx
)()(
*
(4.2)
где )(
*
wS
x
– двусторонняя спектральная плотность случайного процесса
)(
t
X , )(τ
x
K – корреляционная функция случайного процесса )(
t
X ,
.
21
tt −=τ
Решение типовых задач
Задача 4.1.
Корреляционная функция случайного процесса )(
t
X за-
дана в виде
τα−
=τ eDK
xx
)(, где
⎩
⎨
⎧
<ττ−
≥
τ
τ
=τ
0,
0,
. Определить спектральную
плотность соответствующего случайного процесса.
Решение. Спектральная плотность определяется по формуле (4.1):
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
τ−
τα−
τ−
τ
π
=ττ
π
= .
2
1
)(
2
1
)(
*
deeDdeKwS
iw
x
iw
xx
Исходя из условий задачи представим этот интеграл в виде суммы двух
интегралов:
].[
2
)(
0
0
*
∫∫
∞−
∞
τ−ατ−τ−ατ
τ+τ
π
= dede
D
wS
iwiw
x
x
Вычислим
.
)(
)(
1
2)(
1
2
)(
22
0
0*
w
D
e
iw
D
e
iw
D
wS
x
iw
x
iw
x
x
+απ
α
=
−α−
⋅
π
+
−α
⋅
π
=
∞τ−ατ−
∞−
τ−ατ
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.2.
Корреляционная функция задана в виде
.
1если,0
1если),1(
)(
⎩
⎨
⎧
>τ
≤ττ−
=τ
x
x
D
K
Построить график )(τ
x
K , определить спектральную плотность )(
*
wS
x
.
Задача 4.3. Корреляционная функция задана в виде
).1()( τα+⋅=τ
τα−
aeK
x
Определить спектральную плотность )(
*
wS
x
.
Задача 4.4. Корреляционная функция задана в виде
.
если,0
если),1(
)(
0
0
0
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
τ>τ
τ≤τ
τ
τ
−
=τ
x
x
D
K 
                                                       ∞
                                          K x (τ) = ∫ S x* ( w)e iwτ dw                          (4.2)
                                                       −∞

где S x* ( w) – двусторонняя спектральная плотность случайного процесса
 X (t ) , K x (τ) – корреляционная функция случайного процесса X (t ) ,
τ = t1 − t 2 .
                                         Решение типовых задач

      Задача 4.1. Корреляционная функция случайного процесса X (t ) за-
                           −α τ           ⎧ τ, τ ≥ 0
дана в виде K x (τ) = Dx e      , где τ = ⎨            . Определить спектральную
                                          ⎩ − τ, τ < 0
плотность соответствующего случайного процесса.
      Решение. Спектральная плотность определяется по формуле (4.1):
                                       1 ∞            − iwτ       1 ∞       − α τ − iwτ
                        S x* ( w) =       ∫ xK ( τ) e       dτ =     ∫ Dx e      e dτ.
                                      2π − ∞                     2π − ∞
Исходя из условий задачи представим этот интеграл в виде суммы двух
интегралов:
                                             Dx 0 ατ − iwτ      ∞
                               S x* ( w) =     [∫ e        dτ + ∫ e − ατ − iwτ dτ].
                                             2π − ∞             0

Вычислим
                   Dx    1                            Dx    1                         Dx α
     S x* ( w) =      ⋅        e ατ−iwτ      0
                                             −∞   +      ⋅         e −ατ−iwτ ∞0 =                .
                   2π (α − iw)                        2π (−α − iw)                π( α 2 + w 2 )

                           Задачи для самостоятельного решения

     Задача 4.2. Корреляционная функция задана в виде
                                    ⎧ D (1 − τ ), если τ ≤ 1
                          K x (τ) = ⎨ x                      .
                                    ⎩ 0,        если   τ > 1
Построить график K x (τ) , определить спектральную плотность S x* ( w) .
     Задача 4.3. Корреляционная функция задана в виде
                                                            −α τ
                                          K x (τ) = ae             ⋅ (1 + α τ ).

Определить спектральную плотность S x* ( w) .
     Задача 4.4. Корреляционная функция задана в виде
                                                ⎧         τ
                                                ⎪ Dx (1 − ), если τ ≤ τ 0
                                      K x (τ) = ⎨        τ0               .
                                                ⎪ 0, если τ > τ 0
                                                ⎩


                                                                                                     12

Страницы