Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

15
Решение типовых задач
Задача 5.1.
Дано
.
)(
)(;)(
222
2
*
α+
==
w
a
wSjwjwW
x
Определить дисперсию
y
D случайного процесса на выходе динамической
системы.
Решение. Имеем:
).()()(
2
jwWjwWjwW −⋅= (5.9)
Определим ).(
j
wW
−
Получим:
.)(
j
w
j
wW
−
=
−
Представим )(
*
wS
x
в виде:
.
)(
1
)(
1
)(
22
2*
α+−
⋅
α+
⋅=
jwjw
awS
x
Соотношение
(5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид:
.
])(2)][()(2)[(
)(
2
2
2222
2
dw
jwjwjwjw
jwjwa
D
y
∫
∞
∞−
α+−⋅α+−α+⋅α+
−⋅
π
π⋅
=
(5.10)
Запишем полученное соотношение в виде:
,2
2
2
IaD
y
⋅π=
где
∫
∞
∞−
+−+−++
+
π
= .
])()(][)()([
)(
2
1
21
2
021
2
0
1
2
0
2
dw
hjwhjwhhjwhjwh
gjwg
I (5.11)
Соотношение
(5.11) описывает стандартный интеграл порядка 2=n . Об-
щее выражение для стандартного интеграла имеет вид соотношение
(5.3),
(5.4).
Сопоставляя
(5.10) и (5.11), получим:
⎭
⎬
⎫
=−=
α=α==
.0;1
;;2;1
10
2
210
gg
hhh
.
(5.12)
Подставим (5.12) в (5.6). Имеем:
.
4
1
2
α
=I
Окончательно получим: 
                                   Решение типовых задач

      Задача 5.1. Дано
                                                      a2
                     W ( jw) =    jw; S x* ( w)   = 2          .
                                                   (w + α 2 )2
Определить дисперсию D y случайного процесса на выходе динамической
системы.
     Решение. Имеем:
                                  2
                           W ( jw) = W ( jw) ⋅ W (− jw).       (5.9)
Определим W (− jw). Получим:
                                           W (− jw) = − jw.
Представим S x* ( w) в виде:
                                                      1           1
                             S x* ( w) = a 2 ⋅              ⋅             .
                                                 ( jw + α) 2 (− jw + α) 2
Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид:

         a 2 ⋅ 2π ∞                       jw ⋅ (− jw)
  Dy =            ∫                                                           dw.   (5.10)
            2π −∞ [( jw) 2 + 2α ⋅ ( jw) + α 2 ][(− jw) 2 + 2α ⋅ (− jw) + α 2 ]

Запишем полученное соотношение в виде:
                             D y = 2πa 2 ⋅ I 2 ,
где

        1 ∞                         g 0 ( jw) 2 + g1
  I2 =     ∫                                                              dw.       (5.11)
       2π −∞ [h0 ( jw) 2 + h1 ( jw) + h2 ][h0 (− jw) 2 + h1 (− jw) + h2 ]

Соотношение (5.11) описывает стандартный интеграл порядка n = 2 . Об-
щее выражение для стандартного интеграла имеет вид соотношение (5.3),
(5.4).
Сопоставляя (5.10) и (5.11), получим:
                                  h0 = 1; h1 = 2α; h2 = α 2 ;⎫
                                                             ⎬.                     (5.12)
                                  g 0 = −1; g1 = 0.          ⎭
Подставим (5.12) в (5.6). Имеем:
                                                          1
                                                  I2 =      .
                                                         4α
Окончательно получим:



                                                                                       15

Страницы