Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

16
.
2
2
2
2
2
α
π
=⋅π=
a
IaD
y
Задача 5.2. Линейная система описывается уравнением вида:
).()()()(
0101
tXntXntYmtYm +=⋅+⋅
&&
(5.13)
Случайная функция )(
t
X , действующая на входе системы, имеет спек-
тральную плотность вида:
.
1
)(
22
*
α
+
⋅
π
α
=
w
D
wS
x
x
Определить дисперсию случайного процесса на выходе системы.
Решение. Перейдем от уравнения (5.13) к передаточной функции
динамической системы. Введем оператор дифференцирования
.
dt
d
P ≡ Пе-
репишем
(5.13) в виде:
)()()()(
0101
tXnPntYmPm
+
=
+
. (5.14)
Из
(5.14) имеем:
,
)(
)(
)(
01
01
mPm
nPn
tX
tY
PW
+
+
==
откуда:
.
)(
)(
)(
01
01
mjwm
njwn
jwW
+
+
=
Определим ).(
j
wW
−
Получим:
.
)(
)(
)(
01
01
mjwm
njwn
jwW
+−
+
−
=−
Представим )(
*
wS
x
в виде:
.
]))[((
1
)(
*
α+−α+
⋅
π
α
=
jwjw
D
wS
x
x
Соотношение
(5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид:
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
α+−+−α++
+−+
π
α
=
=
α+−
⋅
α+
⋅
+−
+
−
⋅
+
+
π
α
=
.
)]()()[]()([
])(][)([
2
2
])[(
1
)(
1
)(
)(
)(
)(
2
2
0101
0101
01
01
01
01
dw
jwmjwmjwmjwm
njwnnjwnD
dw
jwjwmjwm
njwn
mjwm
njwn
D
D
x
x
y
                                               a 2π
                                                  2
                             D y = 2πa ⋅ I 2 =      .
                                               2α
      Задача 5.2. Линейная система описывается уравнением вида:

                          m1 ⋅ Y& (t ) + m0 ⋅ Y (t ) = n1 X& (t ) + n0 X (t ).   (5.13)

Случайная функция X (t ) , действующая на входе системы, имеет спек-
тральную плотность вида:

                                                 Dx α     1
                                   S x* ( w) =        ⋅ 2   .
                                                  π w + α2

Определить дисперсию случайного процесса на выходе системы.
      Решение. Перейдем от уравнения (5.13) к передаточной функции
                                                                d
динамической системы. Введем оператор дифференцирования P ≡ . Пе-
                                                                dt
репишем (5.13) в виде:
                       (m1P + m0 )Y (t ) = (n1P + n0 ) X (t ) .   (5.14)
Из (5.14) имеем:
                                       Y (t )   n P + n0
                            W ( P) =          = 1            ,
                                       X (t ) m1 P + m0
откуда:
                                           n ( jw) + n0
                              W ( jw) = 1                 .
                                          m1 ( jw) + m0
Определим W (− jw). Получим:
                                                 n1 (− jw) + n0
                                  W (− jw) =                    .
                                                 m1 (− jw) + m0

Представим S x* ( w) в виде:

                                         Dx α         1
                           S x* ( w) =        ⋅                   .
                                          π ( jw + α)[(− jw) + α]

Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид:

                     n1 ( jw) + n0 n1 (− jw) + n0      1           1
            2D x α ∞              ⋅               ⋅         ⋅              dw =
       Dy =        ∫ m1 ( jw) + m0 m1 ( − jw) + m0 ( jw + α) [(− jw) + α ]
             2π −∞

           2 Dx α ∞            [n1 ( jw) + n0 ][n1 (− jw) + n0 ]
       =          ∫                                                     dw.
             2π −∞ [m1 ( jw) + m0 ]( jw + α)[m1 (− jw) + m0 ](− jw + α)



                                                                                    16

Страницы