Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 23 стр.

Матрица безусловных вероятностей состояний на шаге k определяется со-
отношением:
                Pk = [P1 (k ) P2 (k )...... Pn (k)] (k = 0,1,2,...) (7.5)
Для Pk справедливо соотношение:
                              Pk = Pk −1π, k = 1,2,...              (7.6)
Из (7.6) имеем:
                                            P1 = P0 π
                                            P2 = P1π
                                                                              (7.7)
                                            P3 = P2 π
                                           ..............

Матрица финальных вероятностей Т вида:
                                             ⎡ P1 P2          .....Pn ⎤
                                             ⎢P P                     ⎥
                                                              .....Pn ⎥
                      T = lim π(m) = lim π = ⎢ 1
                                          m           2
                                                                              (7.8)
                          m →∞       m →∞    ⎢.... ....       ....... ⎥
                                             ⎢                        ⎥
                                             ⎣ P1 P2          .....Pn ⎦
может быть определена путем решения системы алгебраических уравне-
ний:

                                  Pj = ∑ Pk π kj ; j = 1,2,..., n − 1⎫
                                        n

                                       k =1                          ⎪
                                                   n                 ⎬        (7.9)
                                            1 = ∑ Pj .               ⎪
                                                  j =1               ⎭
Здесь Pj = lim P j ( k ), j = 1, n – финальные вероятности.
             k →∞

                                  Решение типовых задач

       Задача 7.1. Система представляет собой техническое устройство, со-
стоящего из m узлов (m = 3) и время от времени (в моменты t1 , t 2 ,..., t k ) под-
вергается профилактическому осмотру и ремонту. После каждого шага
(момент осмотра и ремонта) система может оказаться в одном из следую-
щих состоянии: x1 – все узлы исправны; x2 – один узел заменен новым, ос-
тальные исправны; x3 – два узла заменены новыми, остальные исправны;
 x4 – все три узла заменены новыми. Рассматривая состояния системы как
марковскую цепь, вычислить вероятности состояний после трех шагов, т.е.
Pj (3) = ?, j = 1,2,3,4. В начальный момент времени все узлы исправны. Мат-
рица перехода π имеет вид:



                                                                                23