Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

32
Имеем:
[]
∑
=
⋅ϕ==
m
i
iixx
DtttKtD
1
2
.)(),()(
(9.3)
Решение типовых задач
Задача 9.1.
Случайная функция
)(
t
X
задана каноническим разложе-
нием:
.2sin2cossincos3)(
4321
tXtXtXtXttX
ω
⋅+
ω
⋅
+
ω
⋅
+
ω
⋅+=
Случайные величины
4321
,,, XXXX
имеют следующие математические
ожидания и дисперсии:
;0
4321
=
===
XXXX
mmmm ;1
21
=
=
XX
DD
.3
43
==
XX
DD
Определить
),(tm
x
),,(
21
ttK
x
).(tD
x
Решение. Найдем
).(tm
x
Имеем:
.3)( ttm
x
=
Определим
).,(
21
ttK
x
Получим:
).(2cos3)(cos
2sin2sin32cos2cos3
sinsincoscos),(
2121
2121
212121
tttt
tttt
ttttttK
x
−ω+−ω=
=ωω+ω⋅ω+
+ω
⋅
ω
+
ω
⋅
ω
=
Определим
).(tD
x
Имеем:
.4),()(
ttKtD
xx
Задача 9.2. Случайная функция
)(
t
X
задана каноническим разло-
жением:
.cossin2)(
21
tXtXttX
⋅
+
⋅
+
=
Случайные величины
21
, XX
имеют следующие математические ожидания
и дисперсии:
;0
21
=
=
XX
mm
3
21
=
=
XX
DD .
Найти каноническое разложение случайной функции
)(
t
Y
вида:
.)()(
2
ttXttY −⋅=
Определить
),(tm
y
),,(
21
ttK
y
).(tD
y
Решение. Найдем каноническое разложение
)(
t
Y
. Имеем:
.cossin)(
21
2
ttXttXttY ⋅+⋅+=
Имеем:
                                Dx (t ) = K x (t , t ) = ∑ [ϕi (t )] ⋅ Di .
                                                          m           2
                                                                                    (9.3)
                                                         i =1


                                    Решение типовых задач

        Задача 9.1. Случайная функция X (t ) задана каноническим разложе-
нием:
           X (t ) = 3t + X 1 ⋅ cos ωt + X 2 ⋅ sin ωt + X 3 ⋅ cos 2ωt + X 4 ⋅ sin 2ωt.

Случайные величины X 1 , X 2 , X 3 , X 4 имеют следующие математические
ожидания и дисперсии:

        m X1 = m X 2 = m X 3 = m X 4 = 0; D X1 = D X 2 = 1; D X 3 = D X 4 = 3.

Определить m x (t ), K x (t1 , t 2 ), Dx (t ).
     Решение. Найдем m x (t ). Имеем:
                                             mx (t ) = 3t.
Определим K x (t1 , t 2 ). Получим:
                       K x (t1 , t 2 ) = cos ωt1 ⋅ cos ωt2 + sin ωt1 ⋅ sin ωt 2 +
                      + 3 cos 2ωt1 ⋅ cos 2ωt2 + 3 sin 2ωt1 sin 2ωt 2 =
                  = cos ω(t1 − t2 ) + 3 cos 2ω(t1 − t2 ).
Определим D x (t ). Имеем:
                                  Dx (t ) = K x (t , t ) = 4.
     Задача 9.2. Случайная функция X (t ) задана каноническим разло-
жением:
                               X (t ) = 2t + X 1 ⋅ sin t + X 2 ⋅ cos t.
Случайные величины X 1 , X 2 имеют следующие математические ожидания
и дисперсии:
                       m X1 = m X 2 = 0; D X1 = D X 2 = 3 .
Найти каноническое разложение случайной функции Y (t ) вида:

                                        Y (t ) = t ⋅ X (t ) − t 2 .
Определить m y (t ), K y (t1 , t 2 ), D y (t ).
        Решение. Найдем каноническое разложение Y (t ) . Имеем:

                              Y (t ) = t 2 + X 1t ⋅ sin t + X 2t ⋅ cos t.


                                                                                        32

Страницы