Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 35 стр.

                                 Решение типовых задач
       Задача 10.1. Система управления положением.
       Движение антенны может быть описано дифференциальным уравне-
нием
                              && (t ) + BΘ
                             JΘ           & (t ) = τ(t ) .                (10.6)
Здесь J – момент инерции всех вращающихся элементов конструкции,
включая антенну; В – коэффициент вязкого трения; τ(t ) – момент, разви-
ваемый двигателем. Предполагается, что момент, развиваемый двигателем,
пропорционален входному напряжению μ(t ) , т.е.
                                 τ(t ) = kμ(t ) .
                                                                 & (t ) , запи-
     Определяя переменные состояния x1 (t ) = Θ(t ) и x 2 (t ) = Θ
шем дифференциальное уравнение состояния в виде
                                   ⎡0 1 ⎤            ⎡0⎤
                         x& (t ) = ⎢      ⎥ x (t ) + ⎢ ⎥μ(t ) ,                (10.7)
                                   ⎣0 − α ⎦          ⎣χ ⎦
где
                                                               B     k
                        x(t ) = [ x1 (t )   x 2 (t )]T , α =     , χ= .
                                                               J     J
Критерий оптимальности имеет вид
                                ∞            ⎡1 0 ⎤
                            J = ∫ [ x T (t ) ⎢    ⎥ x(t ) + ρμ 2 (t )] dt .    (10.8)
                                t0           ⎣0 0 ⎦
Определить u(t), устойчивость замкнутой системы.
     Решение. В обозначениях (10.1) – (10.5) имеем
     ⎡0 1 ⎤          ⎡0⎤                         ⎡1 0 ⎤
   A=⎢       ⎥ ; B = ⎢ ⎥ ; u (t ) = μ(t ) ; R1 = ⎢     ⎥ ; R2 = ρ .            (10.9)
     ⎣ 0 − α ⎦        χ
                     ⎣ ⎦                         ⎣ 0 0 ⎦
       Подставляя (10.9) в (10.5), получим
         ⎡1 0⎤       ⎡0 ⎤ 1            ⎡0 0 ⎤        ⎡0 1 ⎤
       0=⎢     ⎥ − P ⎢ ⎥ ⋅ [0 χ] ⋅ P + ⎢      ⎥ P + P⎢       ⎥.               (10.10)
         ⎣ 0 0 ⎦      χ
                     ⎣ ⎦  ρ            ⎣1 − α ⎦      ⎣ 0 − α ⎦
Пусть Рij, i,j =1,2 обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая
Р12 = Р21, получим из (10.10)
                ⎡1 0⎤ ⎡ P11 P12 ⎤ ⎡0     0 ⎤ ⎡ P11 P12 ⎤
            0=⎢        −
                     ⎥ ⎢          ⋅
                                 ⎥ ⎢     2    ⎥⋅⎢         ⎥+
                ⎣0 0⎦ ⎣ P12 P22 ⎦ ⎣0 χ ρ⎦ ⎣ P12 P22 ⎦
                                                             .                (10.11)
             ⎡ 0   0 ⎤ ⎡ 11
                          P P12 ⎤   ⎡ P    P12 ⎤ ⎡  0 1 ⎤
            +⎢       ⎥ ⋅⎢       ⎥ + ⎢ 11       ⎥ ⋅⎢     ⎥
             ⎣1 − α ⎦ ⎣ P12 P22 ⎦ ⎣ P12 P22 ⎦ ⎣0 − α ⎦
Из (10.11) получим следующие алгебраические уравнения:



                                                                                  35