Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 36 стр.

                                 χ2 2                       ⎫
                          0 = 1−   P12 ;                    ⎪
                                 ρ                          ⎪
                              χ2                            ⎪⎪
                          0=−        P12 P22 + P11 − αP12 ;⎬                          (10.12)
                              ρ                              ⎪
                                χ2                           ⎪
                          0=−        P222 + 2 P12 − 2αP22 . ⎪
                                ρ                            ⎪⎭
Из (10.12) определим Р11, Р12, Р22. Имеем
                                                             ρ
                                           P12 = P21 =         ;                      (10.13)
                                                            χ
                                       χ2 2               ρ
                                     −   P22 − 2αP22 + 2    = 0;
                                       ρ                 χ

                                      χ2     ρ
                   2α − 4α 2 + 4         ⋅2
                                      ρ     χ          ρ     ⎛            2χ ⎞⎟
           P22 =                                   =        ⋅⎜ − α + α2 +       ;     (10.14)
                                χ2                     χ2    ⎜             ρ  ⎟
                             −2                              ⎝                ⎠
                                ρ
                   χ2                       ⎛ χ2       ⎞    ρ        2χ
           P11 =      P12 P22 + αP12 = P12 ⎜⎜ P22 + α ⎟⎟ =    ⋅ α2 +    ;             (10.15)
                   ρ                        ⎝ ρ        ⎠   χ          ρ
Определим матрицу F из соотношения (10.4). Имеем

                            [0 χ]⋅ ⎡⎢ 11
                          1           P       P12 ⎤ 1
                     F=                             = [χP12        χP22 ] ;           (10.16)
                          ρ         ⎣ P12     P22 ⎥⎦ ρ
Соотношение (10.16) с учетом (10.13) и (10.14) примет вид
                           ⎡ 1            1 ⎛⎜                  2χ ⎞⎟⎤
                    F=⎢               ,        − α + α2 +               ⎥.              (10.17)
                           ⎢⎣   ρ         χ  ⎜                    ρ   ⎟
                                             ⎝                        ⎠⎥⎦
Таким образом
                                      μ(t ) = − F ⋅ x(t ) .                             (10.18)
Подставим (10.18), (10.19) в (10.7). Получим
                  ⎡0 1 ⎤                  ⎡0 ⎤ ⎡ 1               1 ⎛⎜      2 2χ ⎞⎟⎤
         &x(t ) = ⎢           ⎥ ⋅ x(t ) + ⎢χ ⎥ ⋅ ⎢−         ,         α− α +       ⎥ ⋅ x(t )
                  ⎣0 − α ⎦                ⎣ ⎦ ⎢⎣ ρ               χ ⎜⎝         ρ ⎟⎠⎥⎦
или
                               ⎡ 0                 1        ⎤
                    x& (t ) = −⎢    χ                 2 χ   ⎥ ⋅ x(t ) .                 (10.19)
                               ⎢           − α2 +           ⎥
                               ⎣ ρ                      ρ⎦


                                                                                            36