Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 38 стр.

                                         ρ ⎛⎜   2  χ2              ⎞
                                                                   ⎟
                                     P = 2 −α+ α +
                                        χ ⎜⎝       ρ               ⎟
                                                                   ⎠
Определим матрицу F из (10.4). Получим
                                   1      ρ ⎛⎜           2     χ 2 ⎞⎟
                              F = χ⋅ 2 −α + α +
                                   ρ χ ⎜⎝                        ρ ⎟⎠
или
                                    1 ⎛⎜            2   χ 2 ⎞⎟
                               F = −α+ α +                     .                  (10.27)
                                    χ ⎜⎝                ρ ⎟⎠
Таким образом
                                     μ(t ) = − Fξ(t ) .                           (10.28)
Подставим (10.28), (10.27) в (10.23). Имеем
                                               1⎛                χ 2 ⎞⎟
                    ξ& (t ) = −α ⋅ ξ(t ) + χ ⋅ ⎜ α − α 2 +              ⋅ ξ(t )
                                               χ ⎜⎝               ρ ⎟⎠

или
                                                        2
                                           χ
                         ξ& (t ) = − α 2 +   ⋅ ξ(t )                              (10.29)
                                           ρ
Эта система асимптотически устойчива.
                          Задачи для самостоятельного решения
      Задача 10.3. Рассмотрим спутник, который вращается относительно
своей оси симметрии. Угловое положение спутника в момент t обозначим
через ϕ(t ) , а постоянный момент инерции спутника – через J. С помощью
газовых струй к спутнику может быть приложен вращающий момент μ(t ) ,
который рассматривается как управляющее воздействие системы. Трение
отсутствует. Определяя переменные состояния x1 (t ) = ϕ(t ) и x2 (t ) = ϕ& (t ) ,
запишем дифференциальное уравнение состояния в виде
                                      ⎡0 1 ⎤                ⎡0 ⎤
                            x& (t ) = ⎢       ⎥ ⋅ x (t ) +  ⎢ ⎥ ⋅ μ(t ) ,   (10.30)
                                      ⎣0 0 ⎦                ⎣β⎦
где
                                                                     1
                             x(t ) = [x1 (t ) x2 (t )] , β = .
                                                          T
                                                                     J
Критерий оптимальности имеет вид
                              ∞           ⎡1 0 ⎤
                         J = ∫ [ x T (t ) ⎢       ⎥ x(t ) + ρμ 2 (t )] dt . (10.31)
                              t0          ⎣ 0  0  ⎦
Определить оптимальный закон управления
                                           μ(t ) = − F ⋅ x(t )


                                                                                      38