Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 37 стр.

Таким образом, оптимальная замкнутая система описывается уравнением
(10.19).
Введем обозначение
                     ⎡ 0         1      ⎤
                     ⎢
                  С= −  χ           2 χ ⎥.                   (10.20)
                     ⎢       − α2 +     ⎥
                     ⎣ ρ              ρ⎦
Определим характеристический полином замкнутой системы. Имеем
                         ⎛⎡ S               −1
                                             ⎤⎞
                         ⎜                2χ ⎥ ⎟ = S 2 + S α 2 + 2χ + χ .
      det( SI − C ) = det⎜ ⎢ χ
                                             ⎥ ⎟⎟
                                       2
                                   S+ α +
                         ⎜⎢ ρ              ρ ⎦⎠                   ρ    ρ
                         ⎝⎣
Характеристическое уравнение имеет вид
                                          2χ   χ
                       S 2 + S α2 +          +    = 0.                  (10.21)
                                           ρ    ρ
Определим корни характеристического уравнения. Имеем
                                 1⎛         2χ          2χ        χ ⎞⎟
                        S1, 2 = ⎜ − α 2 +      ± α2 +      −4
                                 2 ⎜⎝        ρ           ρ         ρ ⎟⎠
или
                                     1⎛       2χ          2χ ⎞⎟
                           S1, 2 = ⎜ − α 2 +      ± α2 −        .       (10.22)
                                     2 ⎜⎝      ρ           ρ ⎟⎠
      Следовательно, оптимальная замкнутая система устойчива.
      Задача 10.2. Задача стабилизации угловой скорости.
      Объект состоит из двигателя постоянного тока, управляемого вход-
ным напряжением μ(t ) , с угловой скоростью вала ξ(t). Система описывает-
ся скалярным дифференциальным уравнением состояния
                ξ& (t ) = −αξ(t ) + χμ(t ), ξ(t ) = ω − ω , ξ(∞) = 0 ,
                                                     0       1      0   (10.23)
где α и χ – известные константы.
Критерий оптимальности имеет вид
                            ∞
                       J = ∫ [ x T (t ) ⋅ 1 ⋅ x(t ) + ρμ 2 (t )] dt .   (10.24)
                            t0
В обозначениях (10.1) – (10.5) имеем
          x(t) = ξ(t); u(t) = μ(t ) ; A = -α; B =χ; R1 = 1; R2 = ρ.     (10.25)
Подставляя (10.25) в (10.5), получим
                                      χ2 2
                               0 = 1−   P − 2α P .                      (10.26)
                                      ρ
Из (10.26) определим Р. Имеем


                                                                            37