Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

41
Тогда задача стохастического линейного оптимального регулирования с
обратной связью по выходной переменной является задачей нахождения
такого функционала
[
]
100
,),()( tttttyftu
≤
≤
≤
τ
≤
τ
=
, (11.4)
при котором критерий
[
]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+=σ
∫
1
0
)()()()(
21
t
t
TT
dttuRtutxRtxM (11.5)
достигает минимума. Здесь R
1
, R
2
– симметрические весовые матрицы, та-
кие, что R
1
> 0, R
2
> 0, t
0
≤ t ≤ t
1
.
Запишем решение задачи стохастического линейного регулирования
с обратной связью по выходной переменной. Для входной переменной
имеем
)(
ˆ
)(
0
txFtu
−
=
, (11.6)
где
PBRF
T1
20
−
= . (11.7)
Здесь P – решение уравнения Риккати
PAPAPBPBRR
TT
++−=
−1
21
0 . (11.8)
Оценка
)(
ˆ
tx получается как решение уравнения
[
]
,)(
ˆ
,)(
ˆ
)()()(
ˆ
)(
ˆ
00
0
xtx
txCtyKtButxAtx
=
−++=
&
(11.9)
где
1
2
0 −
= VQCK
T
. (11.10)
Матрица дисперсий Q является решением уравнения Риккати
1
1
2
0 VQAAQCQVQC
TT
+++−=
−
. (11.11)
Решение типовых задач
Задача 11.1.
Система управления положением описывается диффе-
ренциальным уравнением вида
)(
0
)(
0
)(
0
10
)( tttxtx
d
τ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
γ
+μ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
χ
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α−
=
&
, (11.12)
где
[]
)(;)()()(
21
ttxtxtx
d
T
τ=
– белый шум с постоянной скалярной ин-
тенсивностью V
d
. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-
ся выражением 
Тогда задача стохастического линейного оптимального регулирования с
обратной связью по выходной переменной является задачей нахождения
такого функционала
                               u (t ) = f [ y (τ), t 0 ≤ τ ≤ t ], t 0 ≤ t ≤ t1 ,         (11.4)
при котором критерий
                                    ⎧ t1
                                              [                                 ] ⎫
                              σ = M ⎨ ∫ x T (t ) R1 x(t ) + u T (t ) R2 u (t ) dt ⎬      (11.5)
                                    ⎩t0                                           ⎭
достигает минимума. Здесь R1, R2 – симметрические весовые матрицы, та-
кие, что R1 > 0, R2 > 0, t0 ≤ t ≤ t1.
      Запишем решение задачи стохастического линейного регулирования
с обратной связью по выходной переменной. Для входной переменной
имеем
                                    u (t ) = − F0 xˆ (t ) ,     (11.6)
где
                                      F0 = R2−1 B T P .         (11.7)

Здесь P – решение уравнения Риккати
                               0 = R1 − PBR2−1 B T P + AT P + PA .                       (11.8)
Оценка xˆ (t ) получается как решение уравнения
                     xˆ& (t ) = Axˆ (t ) + Bu (t ) + K 0 [ y (t ) − Cxˆ (t )],
                                                                                         (11.9)
                           xˆ (t 0 ) = x0 ,
где
                                                  K 0 = QC T V2−1 .                     (11.10)
Матрица дисперсий Q является решением уравнения Риккати
                              0 = −QC T V2−1CQ + AQ + QAT + V1 .                        (11.11)

                                        Решение типовых задач

     Задача 11.1. Система управления положением описывается диффе-
ренциальным уравнением вида
                                     ⎡0 1 ⎤            ⎡0⎤           ⎡0 ⎤
                           x& (t ) = ⎢      ⎥ x (t ) + ⎢χ ⎥ μ (t ) + ⎢ γ ⎥ τ d (t ) ,   (11.12)
                                     ⎣0 − α ⎦          ⎣ ⎦           ⎣ ⎦
где x (t ) = [x1 (t ) x2 (t )] ; τ d (t ) – белый шум с постоянной скалярной ин-
                               T

тенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-
ся выражением



                                                                                            41

Страницы