Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 42 стр.

                                    η(t ) = [1 0]x(t ) + ν m (t ) ,                  (11.13)

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.
      Критерий оптимальности имеет вид
                              ⎧⎪ t1 ⎡        ⎡1 0⎤               2      ⎤ ⎫⎪
                        σ = M ⎨ ∫ ⎢ x T (t ) ⎢     ⎥ x (t ) + ρμ   (t ) ⎥ dt ⎬ .     (11.14)
                               ⎪⎩t0 ⎣        ⎣ 0 0 ⎦                    ⎦ ⎪⎭
Определить u(t), K0.
     Решение. В обозначениях (11.1) – (11.11) имеем
           ⎡0 1 ⎤            ⎡0 ⎤                            ⎡1 0⎤             ⎫
    A=⎢             ⎥ ;  B = ⎢χ ⎥ ;    u (t ) = μ (t ); R1 = ⎢0 0 ⎥ ; R 2 = ρ; ⎪
           ⎣0 − α ⎦          ⎣ ⎦                             ⎣    ⎦            ⎪
                                                 ⎡0 ⎤                          ⎪⎪
    y (t ) = η(t ); C = [1 0]; W1 (t ) = ⎢ ⎥ τ d (t ); W2 (t ) = ν m (t ); ⎬         (11.15)
                                                 ⎣γ ⎦                           ⎪
                        ⎡0     0 ⎤                                              ⎪
    V2 = Vm ; V1 = ⎢          2     ⎥.                                          ⎪
                        ⎣0 γ V d ⎦                                              ⎪⎭
Подставляя (11.15) в (11.8), получим
             ⎡1 0 ⎤     ⎡0⎤ 1            ⎡0 0 ⎤         ⎡0 1 ⎤
           0=⎢    ⎥ − P     ⋅
                        ⎢χ ⎥ ρ [0 χ ]P + ⎢1 − α ⎥ P + P ⎢      ⎥.                    (11.16)
             ⎣0 0 ⎦     ⎣ ⎦              ⎣      ⎦       ⎣0 − α ⎦
Пусть Рij, i,j = 1,2 обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая
Р12 = Р21, получим из (11.16)
                ⎡1 0⎤ ⎡ P11 P12 ⎤ ⎡0            0 ⎤ ⎡ P11 P12 ⎤
             0=⎢        ⎥ −⎢         ⎥ ⋅⎢       2    ⎥ ⋅ ⎢P       ⎥+
                ⎣ 0   0 ⎦ ⎣ 12P P 22 ⎦ ⎣  0   χ    ρ ⎦ ⎣ 12   P22 ⎦
                                                                                     (11.17)
              ⎡0 0 ⎤ ⎡ P11 P12 ⎤ ⎡ P11 P12 ⎤ ⎡0 1 ⎤
             +⎢          ⎥ ⋅ ⎢P     ⎥ + ⎢P            ⎥ ⋅ ⎢0 − α ⎥.
              ⎣1    − α  ⎦ ⎣ 12 P22 ⎦    ⎣ 12     P22 ⎦ ⎣        ⎦
Из (11.17) получим следующие алгебраические уравнения:
                              χ2 2                        ⎫
                       0 = 1−   P12 ;                     ⎪
                              ρ                           ⎪
                           χ2                             ⎪⎪
                       0=−         P12 P22 + P11 − αP12 ;⎬                           (11.18)
                           ρ                               ⎪
                              χ2                           ⎪
                       0=−         P222 + 2 P12 − 2αP22 . ⎪
                              ρ                            ⎪⎭
Из (10.18) определим Р11, Р12, Р22. Имеем
                                                   ρ
                                   P12 = P21 =       ;                               (11.19)
                                                  χ


                                                                                         42