Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

45
.срад10
,смН10
,мкг1,0
27
22
21
−
−−
=
⋅⋅=
⋅=γ
m
d
V
V
Имеем
00047,0;00568,0;34,814;36,40
22122211
=
=
=
=
PPkk
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
155,1924,990
136,40
D .
Характеристический полином матрицы D можно найти в виде
3,17635,5924,990)155,19)(36,40(
155,1924,990
136,40
det)det(
2
++=+++=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
=−
SSSS
S
S
DSI
Характеристическое уравнение имеет вид
03,17635,59
2
=++ SS .
Найдем корни характеристического уравнения. Имеем
27,5975,29
2
95,35125,59
2
3,176345,595,59
2
2,1
iS ±−=
−±−
=
⋅−±−
= .
Таким образом, система, описываемая уравнением (11.33), устойчива.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 11.2.
Система описывается дифференциальным уравнением
вида
)(
0
)(
0
)(
00
10
)( tttxtx
d
τ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
γ
+μ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
&
,
где
[]
T
txtxtx )()()(
21
= ;
)(t
d
τ
– белый шум с постоянной скалярной ин-
тенсивностью V
d
. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-
ся выражением
[
]
)()(01)( ttxt
m
ν
+
=
η
,
где ν
m
(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью V
m
.
Критерий оптимальности имеет вид
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
μ⋅ρ+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=σ
∫
1
0
)()(
00
01
)(
2
t
t
T
dtttxtxM 
                                       γ = 0,1 кг −1 ⋅ м −2 ,
                                       Vd = 10 Н 2 ⋅ м 2 ⋅ с,
                                       Vm = 10 −7 рад 2 с .
Имеем
             k11 = 40,36; k 22 = 814,34; P12 = 0,00568; P22 = 0,00047
                                   ⎡ − 40,36    1 ⎤
                                 D=⎢                 ⎥.
                                   ⎣− 990,24 − 19,155⎦
Характеристический полином матрицы D можно найти в виде
                                  ⎛ ⎡ S + 40,36     −1 ⎤⎞
               det( SI − D) = det⎜⎜ ⎢                     ⎥ ⎟⎟ =
                                  ⎝⎣   990 , 24 S + 19,155⎦⎠
               = ( S + 40,36)( S + 19,155) + 990,24 = S 2 + 59,5S + 1763,3
Характеристическое уравнение имеет вид
                                   S 2 + 59,5S + 1763,3 = 0 .
Найдем корни характеристического уравнения. Имеем
          − 59,5 ± 59,5 2 − 4 ⋅ 1763,3 − 59,5 ± − 3512,95
  S1, 2 =                             =                   = −29,75 ± i59,27 .
                      2                         2
Таким образом, система, описываемая уравнением (11.33), устойчива.

                     Задачи для самостоятельного решения

       Задача 11.2. Система описывается дифференциальным уравнением
вида
                                   ⎡0 1 ⎤          ⎡0 ⎤          ⎡0 ⎤
                         x& (t ) = ⎢    ⎥ x (t ) + ⎢β⎥  μ (t ) + ⎢ γ ⎥ τ d (t ) ,
                                   ⎣0 0 ⎦          ⎣ ⎦           ⎣ ⎦

где x(t ) = [x1 (t ) x2 (t )] ; τ d (t ) – белый шум с постоянной скалярной ин-
                        T

тенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-
ся выражением
                                     η(t ) = [1 0]x(t ) + ν m (t ) ,
где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.
Критерий оптимальности имеет вид

                             ⎧⎪ t1 ⎡        ⎡1 0⎤                         ⎤ ⎫⎪
                       σ = M ⎨ ∫ ⎢ x T (t ) ⎢     ⎥ x (t ) + ρ ⋅ μ 2
                                                                     (t ) ⎥ dt ⎬
                              ⎪⎩t0 ⎣        ⎣ 0 0 ⎦                       ⎦ ⎪⎭


                                                                                    45

Страницы