Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

49
)1.12(
).()()()(
)(
);()()()(
)(
);()1()()()(
)(
);(3)()()2(
)(
);(2)()()(
)(
);()(
)(
11
11
11
312
2
201
1
10
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ++⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ−=
++−++
+
+−
+−
tPntPtPn
dt
tdP
tPntPtPn
dt
tdP
tPktPtPk
dt
tdP
tPtPtP
dt
tdP
tPtPtP
dt
tdP
tPtP
dt
tdP
rnrnrn
rn
nnn
n
kkk
k
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
Так как СМО может находиться только в одном из состояний, то справед-
ливо соотношение
∑
∞
=
=
0
1)(
k
k
tP . (12.2)
В установившемся режиме имеем
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
=
.0
)(
;)(
dt
tdP
constPtP
k
kk
(12.3)
В результате получим из (12.1) систему алгебраических уравнений вида
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ++⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ+⋅μ+λ−=
⋅μ+⋅λ
−
=
++−++
+−
+−
.)(0
;)(0
;)1()(0
;3)2(0
;2)(0
;0
11
11
11
312
201
10
rnrnrn
nnn
kkk
PnPPn
PnPPn
PkPPk
PPP
PPP
PP
KKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKKKKK
(12.4)
Из 1-го уравнения системы (12.4) имеем 
dP0 (t )                                                                      ⎫
         = −λ ⋅ P0 (t ) + μ ⋅ P1 (t );                                        ⎪
  dt
                                                                              ⎪
dP1 (t )                                                                      ⎪
         = −(λ + μ) ⋅ P1 (t ) + λ ⋅ P0 (t ) + 2μ ⋅ P2 (t );
  dt                                                                          ⎪
dP2 (t )                                                                      ⎪
         = −(λ + 2μ) ⋅ P2 (t ) + λ ⋅ P1 (t ) + 3μ ⋅ P3 (t );                  ⎪
  dt                                                                          ⎪
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK                                                          ⎪
                                                                              ⎪
dPk (t )                                                                      ⎪
         = −(λ + kμ) ⋅ Pk (t ) + λ ⋅ Pk −1 (t ) + (k + 1)μ ⋅ Pk +1 (t ); ⎬      (12.1)
  dt                                                                          ⎪
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK                                                          ⎪
dPn (t )                                                                      ⎪
         = −(λ + nμ) ⋅ Pn (t ) + λ ⋅ Pn−1 (t ) + nμ ⋅ Pn+1 (t );              ⎪
  dt                                                                          ⎪
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK                                                          ⎪
                                                                              ⎪
dPn+ r (t )                                                                   ⎪
            = −(λ + nμ) ⋅ Pn+ r (t ) + λ ⋅ Pn+ r −1 (t ) + nμ ⋅ Pn+ r +1 (t ).⎪
   dt
                                                                              ⎪
                                                                              ⎭
Так как СМО может находиться только в одном из состояний, то справед-
ливо соотношение
                                      ∞
                                      ∑ Pk (t ) = 1 .                          (12.2)
                                     k =0

В установившемся режиме имеем
                                 Pk (t ) = Pk = const;⎫
                                                      ⎪
                                 dPk (t )             ⎬                        (12.3)
                                          = 0.        ⎪⎭
                                   dt
В результате получим из (12.1) систему алгебраических уравнений вида
           0 = −λ ⋅ P0 + μ ⋅ P1 ;                                    ⎫
           0 = −(λ + μ) ⋅ P1 + λ ⋅ P0 + 2μ ⋅ P2 ;                    ⎪
                                                                     ⎪
           0 = −(λ + 2μ) ⋅ P2 + λ ⋅ P1 + 3μ ⋅ P3 ;                   ⎪
                                                                     ⎪
           KKKKKKKKKKKKKKK                                           ⎪
                                                                     ⎪
           0 = −(λ + kμ) ⋅ Pk + λ ⋅ Pk −1 + (k + 1)μ ⋅ Pk +1 ; ⎬       (12.4)
           KKKKKKKKKKKKKKK                                           ⎪
                                                                     ⎪
           0 = −(λ + nμ) ⋅ Pn + λ ⋅ Pn −1 + nμ ⋅ Pn +1 ;             ⎪
                                                                     ⎪
           KKKKKKKKKKKKKKK                                           ⎪
           0 = −(λ + nμ) ⋅ Pn + r + λ ⋅ Pn + r −1 + nμ ⋅ Pn + r +1 .⎪⎭
Из 1-го уравнения системы (12.4) имеем

                                                                                   49

Страницы