Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 51 стр.

Имеем
          ρ ρ 2 ρ3      ρr ρ ⎛ ρ ρ2         ρr     ⎞
           + 2 + 3 + L + r = ⎜⎜1 + + 2 + L + r + L⎟⎟ .                            (12.11)
          n n   n       n   n⎝ n n          n
                              14444244443⎠
                                                  геометрическая прогрессия
Введем обозначение
                                 ρ ρ2      ρr
                         Sr = 1 + + 2 + L + r .                                   (12.12)
                                 n n       n
Пусть
                                                  ρ
                                                    < 1.
                                                  n
Тогда
                                                             1
                                    S = lim S r =                   .             (12.13)
                                           r →∞               ρ
                                                           1−
                                                              n
Соотношение (12.10) с учетом (12.11) – (12.13) примет вид
                                                   1
                                P0 =                         .                    (12.14)
                                          n ρk     ρn ρ
                                         ∑       +    ⋅
                                        k = 0 k!    n! n − ρ
Определим среднее число заявок в очереди, умножая возможное число
заявок в очереди на вероятность того, что именно это число заявок будет в
очереди, и складывая результаты
             r = 1 ⋅ Pn +1 + 2 ⋅ Pn + 2 + 3 ⋅ Pn +3 + L + r ⋅ Pn + r + L =
               ρ n+1          ρ n+2        ρ n +3              ρ n+r
             =        P0 + 2 2       P0 + 3 3     P0 + L + r r         P0 + L =
               n ⋅ n!         n ⋅ n!       n ⋅ n!             n ⋅ n!
                                                           r −1
               ρ n+1 ⎡                                               ⎤
                                    1        2
                               ⎛ρ⎞       ⎛ρ⎞           ⎛ρ⎞
             =        P0 ⎢1 + 2⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ + L + r ⎜ ⎟ + L⎥
               n ⋅ n! ⎣⎢       ⎝n⎠       ⎝n⎠           ⎝n⎠           ⎦⎥
Учтем следующее равенство
                                    ∞      k −1           1
                                    ∑ kx          =             .                 (12.15)
                                    k =1              (1 − x) 2
Следовательно
                                      ρ n +1      P0
                                   r=        ⋅        .                           (12.16)
                                      n ⋅ n! ⎛ ρ ⎞ 2
                                               ⎜1 − ⎟
                                               ⎝ n⎠
Определим среднее время ожидания заявки в очереди τож до выполнения
заявки СМО. Если заявка застанет не все каналы занятыми, то ей не при-
дется ждать. Если заявка придет в момент, когда заняты все n каналов, но

                                                                                      51