Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

60
Итак, в рассматриваемом случае
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
ω−ΨωΨ=ωΨω=ωΨ
ω=ω
=ω+=
ω
ω
),()()();()(
);()(
;)();()(
22
0
0
0
jjjSj
SeS
ejLttmty
m
m
tj
ym
tj
(13.1)
где
S
m
(ω) – спектральная плотность сигнала m(t).
Формула для оптимальной передаточной функции упреждающей
системы имеет вид
∫∫
∞
∞−
+ω
∞
ω−
ωωΨ
ωΨπ
=ωΦ dejdte
j
j
ttj
tj
)(
0
0
)(
)(2
1
)(
. (13.2)
Предположим, что нам задано аналитическое выражение для спек-
тральной плотности
S
m
(ω) входного сигнала m(t) в виде дробно-
рациональной функции от ω:
ν
ν
μ
μ
ω++ω+
ω++ω+
=ω
22
10
22
10
)(
aaa
bbb
S
m
L
L
. (13.3)
Применим формулу (13.2) для вычисления передаточной функции, обеспе-
чивающей минимум среднего значения квадрата ошибки упреждения.
Прежде всего, необходимо найти нули и полюсы функции
S
m
(ω).
Имея в виду, что функция
S
m
(ω) – четная, и предполагая для простоты вы-
кладок, что все нули и полюсы простые, можем записать
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1
ν
μ
ν
μ
λ+ωλ+ω
γ
+
ω
γ
+
ω
λ−ωλ−ω
γ
−
ω
γ
−ω
=ω
K
K
K
K
mmm
CCS , (13.4)
где
ν
μ
=
a
b
C
m
.
Найдем функцию Ψ(
jω), имея в виду, что она определяется формулой
(13.1) и что все ее нули и полюсы должны быть расположены в верхней
полуплоскости.
Сравнивая (13.1) с (13.4), найдем
)())((
)())((
)(
21
21
ν
μ
λ−ωλ−ωλ−ω
γ
−
ω
γ
−
ω
γ
−
ω
=ωΨ
K
K
m
Cj (13.5)
и
)())((
)())((
)(
21
21
ν
μ
λ+ωλ+ωλ+ω
γ
+
ω
γ
+
ω
γ
+
ω
=ω−Ψ
K
K
m
Cj . (13.6) 
Итак, в рассматриваемом случае

             y (t ) = m(t + t 0 ); L( jω) = e jωt0 ;      ⎫
                                                          ⎪⎪
                        jωt0
            S ym (ω) = e S m (ω);                          ⎬                    (13.1)
                     2                2                    ⎪
            Ψ ( jω) = S m (ω); Ψ ( jω) = Ψ ( jω)Ψ (− jω),⎪⎭


где Sm(ω) – спектральная плотность сигнала m(t).
     Формула для оптимальной передаточной функции упреждающей
системы имеет вид
                               1      ∞            ∞
                Φ ( jω) =             ∫e
                                         − j ωt
                                                dt ∫ Ψ ( jω)e jω(t +t0 ) dω .   (13.2)
                            2πΨ ( jω) 0           −∞

     Предположим, что нам задано аналитическое выражение для спек-
тральной плотности Sm(ω) входного сигнала m(t) в виде дробно-
рациональной функции от ω:
                           b0 + b1ω 2 + L + bμ ω 2μ
                 S m (ω) =                          .        (13.3)
                           a0 + a1ω 2 + L + aν ω 2ν

Применим формулу (13.2) для вычисления передаточной функции, обеспе-
чивающей минимум среднего значения квадрата ошибки упреждения.
     Прежде всего, необходимо найти нули и полюсы функции Sm(ω).
Имея в виду, что функция Sm(ω) – четная, и предполагая для простоты вы-
кладок, что все нули и полюсы простые, можем записать
                        ( ω − γ 1 ) K (ω − γ μ )    (ω + γ 1 ) K (ω + γ μ )
          S m (ω) = C m                          Cm                         , (13.4)
                        (ω − λ 1 ) K (ω − λ ν )     (ω + λ 1 ) K (ω + λ ν )
где
                                                  bμ
                                         Cm =        .
                                                  aν
      Найдем функцию Ψ(jω), имея в виду, что она определяется формулой
(13.1) и что все ее нули и полюсы должны быть расположены в верхней
полуплоскости.
      Сравнивая (13.1) с (13.4), найдем
                                       (ω − γ 1 )(ω − γ 2 ) K (ω − γ μ )
                      Ψ ( jω) = C m                                             (13.5)
                                       (ω − λ1 )(ω − λ 2 ) K (ω − λ ν )
                                                                                    и
                                        (ω + γ 1 )(ω + γ 2 ) K (ω + γ μ )
                     Ψ (− jω) = C m                                         .   (13.6)
                                        (ω + λ1 )(ω + λ 2 ) K (ω + λ ν )


                                                                                   60

Страницы