Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 62 стр.

где

                                 a iσ =
                                           1 ⎡ d σ−1
                                                 ⎢
                                        (σ − 1)! ⎣ dωσ−1
                                                         (ω − λ i )χ
                                                                     Ψ (
                                                                       ( j ω)
                                                                              ⎤
                                                                              ⎥     .       )
                                                                              ⎦ ω=λ                  i


      Соотношение для Bi(jω) имеет вид
                                            χ
                                                        jλ i t0 σ −1  ( jt 0 ) σ−1−η    1
                        Bi ( jω) = ∑ aiσ e                         ∑                 ⋅      η+1
                                                                                                .                  (13.15)
                                         σ =1                     η=0 (σ − 1 − η)! (ω − λ )
                                                                                          i

      Таким образом, каждый кратный полюс с кратностью χ дает член ви-
да (13.15) в числителе выражения для оптимальной передаточной функ-
ции.
      Если, например, все полюсы – простые, за исключением одного
кратного полюса λi с кратностью χ, то
                                                                         σ −1− η
                                   1               jλ i t0 σ −1 ( jt 0 )           1
             ν −χ                         χ
                      jλ r t 0
             ∑ ar e                     + ∑ a iσ e          ∑                    ⋅     η+1
             r =1                ω − λ r σ=1               η= 0 (σ − 1 − η)! (ω − λ )
 Φ ( jω) =                                                                           i
                                                                                                         .         (13.16)
                                                         Ψ ( jω)
      Минимальное среднее значение квадрата ошибки упреждения (пока-
затель точности системы упреждения) определяется соотношением
                                                                       t0
                                                          2
                                                        ε min = ∫ γ 2 (t )dt .                                     (13.17)
                                                                       0
      Для полюса λi кратности χ определим γi(t). Имеем
                                                              χ j σ t σ−1
                                                γ i (t ) = ∑              a iσ e jλ i t .                          (13.18)
                                                           σ =1(σ − 1)!


                                                Решение типовых задач
      Задача 13.1. Дано
                                            ⎡ 2β + ω               2β − ω ⎤
                                  S m (ω) = ⎢ 2              +                2⎥
                                                                                 .
                                            ⎣ α + (ω + β ) 2
                                                               α 2
                                                                   + (ω − β )  ⎦
    Определить оптимальную передаточную функцию Φ(jω)                                                          прогнози-
рующего фильтра.
    Решение. Запишем Sm(ω) в виде
                      ⎡       2β + ω               2β − ω                                                      ⎤
            S m (ω) = ⎢ 2                 +
                                     2
                      ⎣ ω + 2βω + α + β
                                        2
                                                              (
                                            ω2 − 2βω + α 2 + β 2              )                  (             )
                                                                                                               ⎥
                                                                                                               ⎦
    Отсюда имеем

           (ω) =
                 [ω    2
                                        (                )]                     [
                           − 2βω + α 2 + β 2 (2β + ω) + ω2 + 2βω + α 2 + β 2 (2β − ω)        (            )]
      Sm
                                    [                    (
                               ω 2 + 2βω + α 2 + β 2 ⋅ ω2 − 2βω + α 2 + β 2 )] [            (            )]

                                                                                                                       62