Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

63
или
()
[]
()
[]
222222
2222
22
22
)(
β+α+βω−ω⋅β+α+βω+ω
β+αβ⋅β+αβ
=ω
m
S .
Определим корни 1-го сомножителя в знаменателе
S
m
(ω). Имеем
(
)
02
222
=β+α+βω+ω .
Откуда получим
α±β−=
β−α−β±β−
=ω j
2
4442
222
2,1
.
Следовательно
α
−
β
−
=
ω
α
+
β
−
=
ω jj
21
;
.
Определим корни 2-го сомножителя в знаменателе
S
m
(ω). Имеем
(
)
02
222
=β+α+βω−ω .
Откуда получим
α±β=
β−α−β±β
=ω j
2
4442
222
4,3
.
Следовательно
α
−
β
=
ω
α
+
β
=
ω
jj
43
;
.
Введем обозначения
;;
21
α
+
β
=
λ
α
+
β
−
=
λ jj
(13.19)
Тогда
14222311
;;; λ−=
ω
ω
ω
λ=ω
.
Запишем
S
m
(ω) в виде
))()()((
22
)(
4231
2222
ω−ωω−ωω−ωω−ω
β+αβ⋅β+αβ
=ω
m
S
или
))((
2
))((
2
)(
21
22
21
22
λ+ωλ+ω
β+αβ
⋅
λ−ωλ−ω
β+αβ
=ω
m
S
Отсюда с учетом (13.4), (13.5) получим
))((
)(
21
1
λ−ωλ−ω
=ωΨ
A
j
, (13.20)
где
22
1
2 β+αβ=A .
Ψ(
jω) содержит полюсы в верхней полуплоскости. Действительно 
или
                                         2 β α 2 + β2 ⋅ 2 β α 2 + β2
                S m (ω) =
                            [ω   2
                                             (           )] [            (
                                     + 2βω + α 2 + β 2 ⋅ ω2 − 2βω + α 2 + β 2   )] .
Определим корни 1-го сомножителя в знаменателе Sm(ω). Имеем
                                                     (          )
                                      ω 2 + 2βω + α 2 + β 2 = 0 .
Откуда получим
                                − 2β ± 4β 2 − 4α 2 − 4β 2
                      ω1, 2   =                           = −β ± jα .
                                           2
Следовательно
                              ω1 = −β + jα; ω 2 = −β − jα .
      Определим корни 2-го сомножителя в знаменателе Sm(ω). Имеем
                                                     (          )
                                       ω2 − 2βω + α 2 + β 2 = 0 .
      Откуда получим
                                   2β ± 4β 2 − 4α 2 − 4β 2
                        ω3, 4    =                         = β ± jα .
                                             2
      Следовательно
                                     ω 3 = β + jα; ω 4 = β − jα .
      Введем обозначения
                            λ1 = −β + jα; λ 2 = β + jα;                                (13.19)
      Тогда
                   ω1 = λ 1 ; ω3 = λ 2 ; ω 2 = −λ 2 ; ω 4 = −λ 1 .
      Запишем Sm(ω) в виде
                                  2 β α 2 + β2 ⋅ 2 β α 2 + β2
                      S m (ω) =
                                (ω − ω1 )(ω − ω3 )(ω − ω 2 )(ω − ω 4 )
или

                                2 β α 2 + β2        2 β α 2 + β2
                     S m (ω) =                    ⋅
                               (ω − λ1 )(ω − λ 2 ) (ω + λ1 )(ω + λ 2 )
Отсюда с учетом (13.4), (13.5) получим
                                                         A1
                                     Ψ ( jω) =                       ,                 (13.20)
                                                 (ω − λ1 )(ω − λ 2 )
где
                                          A1 = 2 β α 2 + β 2 .

Ψ(jω) содержит полюсы в верхней полуплоскости. Действительно



                                                                                           63

Страницы