Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 61 стр.

Разложим выражение (13.5) для Ψ(jω) на простые дроби:
                                        ν    di
                            Ψ ( jω) = ∑            ,                                                     (13.7)
                                      i =1 ω − λ i

где

                                            d i = [(ω − λ i )Ψ ( jω)]ω=λi .                              (13.8)
Найдем функцию γ(t) вида
                                                        1 ∞          jωt
                                            γ (t ) =       ∫ Ψ ( jω)e dω .                               (13.9)
                                                       2π −∞
Подставляя (13.7) в (13.9), получим
                                                      1 ∞ ν di
                                          γ (t ) =       ∫ ∑            e j ωt d ω ,
                                                     2π −∞ i =1 ω − λ i
причем
                                           1 ∞ di
                                               ∫         e j ωt d ω = d i e j λ i t .
                                          2πj −∞ ω − λ i
Поэтому
                                                             ν
                                               γ (t ) = j ∑ d i e jλit .                                (13.10)
                                                          i =1
Введем в рассмотрение функцию
                                      ν
            β(t ) = γ (t + t 0 ) = ∑ jd i e jλi (t +t0 ) , t > 0, β(t ) = 0, t < 0                      (13.11)
                                     i =1

и вычислим соответствующее ей преобразование Фурье
               ∞                   ∞                                                di
      B( jω) = ∫ e − jωt β(t )dt = ∫ e − jωt ⎧⎨ ∑ jd i e jλi (t +t0 ) ⎫⎬dt = ∑
                                                 ν                             ν
                                                                                          e jλ i t0 .   (13.12)
               0                   0          ⎩i =1                    ⎭     i =1 ω − λ i


Итак, если все полюсы Sm(ω) – простые, то определим Φ ( jω) по формуле
                                                   di    ν
                                                         e jλit0
                                                         ∑
                                   B( jω) i =1 ω − λ i
                          Φ( jω) =         =                     .                                      (13.13)
                                   Ψ ( jω)       ν    di
                                                ∑
                                               i =1 ω − λ i

     Предположим теперь, что некоторые из полюсов функции Sm(ω) яв-
ляются кратными.
     Тогда каждому полюсу кратности χ в разложении функции Ψ(jω) на
простые дроби будет соответствовать выражение
              ai1         ai 2              a iχ      χ     aiσ
                      +            + L +            = ∑              ,                                  (13.14)
            (ω − λ i ) (ω − λ i )2       (ω − λ i )χ σ=1 (ω − λ i )σ

                                                                                                            61