Использование методов теории автоматического управления при разработке мехатронных систем. Федотов А.В. - 56 стр.

    c0 p n  c1 p n 1 ...  cn 1 p  cn 0 .
Характеристическое уравнение системы получается приравниванием к нулю знаме-
нателя передаточной функции замкнутой системы.
    Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения,
имеющего порядок n,
                 n
     yc ( t )   Ai e pi t ,
               i 1
где Ai – постоянные интегрирования, pi – корни характеристического уравнения, n
– число корней.
    Корни характеристического уравнения могут быть как вещественными, так и
комплексными (попарно сопряжёнными). Каждый комплексный корень порождает
в решении уравнения слагаемое вида
           pt           t
     Ai e i  Ai e i  sin( i t   i ), pi   i  j i ,
где  i – начальная фаза, Аi – начальная амплитуда.
    Затухание процесса со временем возможно только в том случае, когда веще-
ственная часть корня i отрицательна. В этом случае для всех слагаемых
               n                     n
       lim  Ai e     p i t  lim  Ai e  i t sin(i t i )0
     t  i 1                t  i 1
и, следовательно, свободный процесс затухает, а система устойчива.
    Можно сформулировать математическое условие устойчивости для системы ав-
томатического управления. Система автоматического управления будет устой-
чива, если все вещественные корни характеристического уравнения системы
отрицательны, а все комплексные корни имеют отрицательные вещественные
                                        части.
                            j               Если корни характеристического уравнения
                                        изобразить на комплексной плоскости, то для
                                        устойчивости системы необходимо, чтобы все они
                                        лежали бы в левой полуплоскости (рис. 42). На
                                        рис. 42 корни характеристического уравнения
                                        изображены кружками на комплексной плоскости.
                            0           Границе устойчивости будет соответствовать
                                        нахождение хотя бы одной пары корней на мни-
                                        мой оси (для них вещественная часть равна нулю).
 Рис. 42. Расположение корней               Поскольку корни характеристического уравне-
                                        ния определяются величиной и знаком коэффици-
ентов дифференциального уравнения, то изменение коэффициентов, вследствие из-
менения параметров системы, может привести к нарушению условия устойчивости.
Для исследования устойчивости системы автоматического управления необходимо
проверить выполнения условия устойчивости для дифференциального уравнения
системы. Система, для которой условие устойчивости выполняется, будет устойчи-
вой (т.е. работоспособной).

                                                  56