Использование методов теории автоматического управления при разработке мехатронных систем. Федотов А.В. - 57 стр.

                Теоремы Ляпунова об устойчивости
                       линейной системы
    Полученное выше условие устойчивости справедливо для обыкновенных ли-
нейных систем автоматического управления. На практике приходится иметь дело с
линеаризованными системами, и фактическая нелинейность характеристик систе-
мы может привести к неверным выводам о её устойчивости на основании исследо-
вания линеаризованного дифференциального уравнения.
    Границы применимости линеаризованных дифференциальных уравнений при
исследовании устойчивости систем определяются общими теоремами устойчиво-
сти А.М. Ляпунова. Эти теоремы приводятся ниже без доказательств. С доказа-
тельством теорем можно ознакомиться в учебниках по теории управления или в
трудах А.М. Ляпунова.
    1) Реальная система устойчива «в малом» если характеристическое уравнение
линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными ча-
стями.
    2) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы
один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет не-
устойчива.
    3) При наличии корней характеристического уравнения с нулевой вещественной
частью поведение реальной системы может не совпадать с поведением линеаризо-
ванной системы, и решение вопроса об устойчивости системы требует дополни-
тельных исследований.
    Понятие "в малом" соответствует поведению системы при небольших началь-
ных возмущениях, когда нелинейные зависимости между сигналами в системе не
оказывают существенного влияния на её поведение.

                 Критерии устойчивости системы
      Общие сведения
    Признаки, по которым можно судить об устойчивости системы автоматического
управления без нахождения корней характеристического уравнения, в совокупности
с правилами применения этих признаков, называются критериями устойчивости
системы автоматического управления. Поскольку устойчивость системы определя-
ется знаком вещественной части корней характеристического уравнения системы,
то критерии устойчивости позволяют определить этот знак без нахождения самих
корней.
    Применение критериев устойчивости упрощает задачу исследования устойчи-
вости системы, а также позволяет выявить причину её неустойчивости и наметить
пути для устранения неустойчивости системы (для приведения системы к устойчи-
вости).
    Все критерии устойчивости делятся на алгебраические критерии, основанные
на исследовании коэффициентов характеристического уравнения, и частотные


                                        57