Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И
ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Специальная правая часть первого вида: случай, когда контрольное число не является корнем характеристического
уравнения; случай, когда контрольное число является корнем характеристического уравнения; специальная правая часть
второго вида, понятие краевой задачи.
Рассмотрим ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами:
)( ...
1
)2(
2
)1(
1
)(
xfyayayayay
nn
nnn
=+
′
++++
−
−−
. (8.1)
Общее решение уравнения (8.1) всегда можно найти методом вариации произвольных постоянных (см. лекцию 5,
конкретный пример см. в лекции 7).
Однако, если для уравнения (8.1) удаётся найти каким-либо образом некоторое его частное решение
ч
y , то общее
решение этого уравнения проще искать по формуле (5.7):
ч0.0
yyy +
=
, (8.2)
где
0.0
y – общее решение соответствующего ЛОДУ.
В ряде случаев, когда правая часть уравнения (8.1) имеет специальный вид, удаётся указать способ нахождения
частного решения этого уравнения и, тем самым, применить формулу (8.2) для отыскания общего решения уравнения (8.1).
Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид
x
m
exPxf
α
= )()( , (8.3)
где α – некоторое заданное действительное число (в дальнейшем мы будем называть его контрольным числом); )(xP
m
–
некоторый заданный многочлен степени m:
mm
mm
m
pxpxpxpxP ++++=
−
−
1
1
10
... )( .
Рассмотрим характеристическое уравнение для соответствующего ЛОДУ n-го порядка:
0 ...
1
2
2
1
1
=+λ++λ+λ+λ
−
−−
nn
nnn
aaaa . (8.4)
Теорема 8.1. Если правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.3) и контрольное число α не является корнем
характеристического уравнения (8.4), то уравнение (8.1) имеет частное решение вида
x
m
exQy
α
= )(
ч
, (8.5)
где )(xQ
m
– некоторый многочлен степени m.
Функция вида (8.5) должна удовлетворять уравнению (8.1) :
(
)
x
m
x
m
exPexQL
αα
= )()(
. (8.6)
Учитывая, что
mm
mm
m
qxqxqxqxQ ++++=
−
−
1
1
10
... )(
,
и линейность дифференциального оператора L , получаем
()()
xkm
m
k
k
x
m
exLqexQL
α−
=
α
∑
=
0
)( . (8.7)
В силу формулы (6.13)
()
xkm
km
km
xkm
exPCexL
αν−−
−
=ν
νν
−
α−
∑
α=
0
)(
)( . (8.8)
В силу (8.7), (8.8)
()
xkm
km
km
m
k
k
x
m
exPCqexQL
αν−−
−
=ν
νν
−
=
α
∑∑
α=
0
)(
0
)()( . (8.9)
Заменяя левую часть (8.6) на (8.9) и сокращая на общий множитель
x
e
α
, получаем

Страницы