Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)()(
0
)(
0
xPxPCq
m
km
km
km
m
k
k
=α
ν−−
−
=ν
νν
−
=
∑∑
,
или, в развёрнутой форме,
112 2 1(1)()
0
() () () ... () ()
mm mmmm
mm m
qP x CP x CP x CP xP
−−−−

′′′
α+ α + α ++ α+ α+

11 2 2(2) (1)
111
( ) ( ) ... ( ) ( )
mmmmm
mm
qPxCPxCPxP
−−−−−
−−

′
+α+α++α+α+

23(3)(2)
22
( ) ... ( ) ( )
mmm m
m
qPxCPxP
−−− −
−

+α++α+α+

………………..…………………………………………………………
[
]
1
( ) ( )
m
qPxP
−
′
+α+α+
[
]
( )
m
qP+α=
mm
mmm
pxpxpxpxp +++++=
−
−−
1
2
2
1
10
... .
Получили равенство двух многочленов степени m. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
, получаем
следующую систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов
mm
qqqqq , , ... , , ,
1210 −
многочлена )(xQ
m
:
=α+α++α
′
+α
=α+α++α
=α
′′
+α
′
+α
=α
′
+α
=α
−
−
−−−−
−−
−
. )()(...)()(
, )()(...)(
...........................................................................................
, )()()(
, )()(
, )(
0
)(
1
)1(
1
10
)1(1
1
)2(2
11
20
2
1
1
12
10
1
1
00
m
mm
mm
m-
mm
m
mm
mm
mm
m
pqPqPqPqP
pqPCqPCqP
pqPCqPCqP
pqPCqP
pqP
(8.10)
По условию теоремы 0)( ≠αP . Тогда из первого уравнения системы (8.10) можно найти
0
q . Зная
0
q , из второго уравнения
можно найти
1
q и так далее.
Итак, функция вида (8.5) с коэффициентами
mm
qqqq , , ... , ,
110 −
многочлена )(xQ
m
, являющимися решением системы
(8.10), будет частным решением уравнения (8.1).
Замечание 8.1. При практическом нахождении частного решения вида (8.5) уравнения (8.1) со специальной правой
частью вида (8.3) пользуются той же схемой, что и при доказательстве теоремы 8.1: функцию вида (8.5) с неопределёнными
пока коэффициентами
,
0
q , ... ,
1
q
mm
qq ,
1−
подставляют в уравнение (8.1); затем записывают систему вида (8.10), находят
из неё
mm
qqqq , , ... , ,
110 −
и найденные значения подставляют в формулу (8.5). Такой способ нахождения частного решения
уравнения (8.1) называется методом неопределённых коэффициентов.
Замечание 8.2. Правая часть уравнения (8.1) вида
)()( xPxf
m
=
является частным случаем правой части вида (8.3). В этом случае контрольное число
α
равно нулю.
Пример 8.1. Уравнение
x
exyyy
52
23 =+
′
−
′′
имеет частное решение вида
(
)
x
eCBxAxy
52
ч
++= ,
так как правая часть
x
exxf
52
)( = имеет вид (8.3) и контрольное число 5
=
α
не является корнем характеристического
уравнения
023
2
=+λ−λ .
Пример 8.2. Уравнение
7352
+
=
+
′
−
′
′
xyyy
имеет частное решение вида
BAxy
+
=
ч
,
так как правая часть 73)( += xxf имеет вид (8.3) и контрольное число 0
=
α
не является корнем характеристического
уравнения
052
2
=+λ−λ .
Теорема 8.2. Если правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.3) и контрольное число α является корнем кратности
r
характеристического уравнения (8.4), то уравнение (8.1) имеет частное решение вида
x
m
r
exQxy
α
= )(
ч
,
где )(xQ
m
– некоторый многочлен степени m.
Доказательство теоремы 8.2 аналогично доказательству теоремы 8.1 [1.3, с. 410].

Страницы