Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

или, в силу линейности оператора L ,
()
)()()()( xibxaxivxuL
−
=
−
.
Теорема 8.3. Если правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.11) и контрольное число
β+α i
не является корнем
характеристического уравнения (8.4), то уравнение (8.1) имеет частное решение вида
[
]
xxTxxSey
NN
x
β+β=
α
sin)(cos)(
ч
, (8.14)
где )(xS
N
, )(xT
N
– некоторые многочлены степени N,
{
}
l,max mN
=
.
Применяя известные формулы [2.7, с. 86]
()
iziz
eez
−
+=
2
1
cos ,
()
iziz
ee
i
z
−
−=
2
1
sin ,
∀
Χ
∈
z
,
получаем
()()
=
−++=
β−ββ−βα xixixixi
m
x
eexB
i
eexAexf )(
2
1
)(
2
1
)(
l
=
−+
+=
β−αβ+α
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)()(
xB
i
xAexB
i
xAe
m
xi
m
xi
ll
++
−=
β−αβ+α
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)()(
xBixAexBixAe
m
xi
m
xi
ll
.
Полагая β+α=λ i , )(
2
1
)(
2
1
)( xBixAxP
mN l
−= , где
{
}
l,max mN
=
, имеем
)()()( xPexPexf
N
x
N
x λλ
+= .
Уравнение )(xPeLy
N
xλ
= имеет частное решение )(
)1(
ч
xQey
N
xλ
= , так как теорема 8.1 сохраняет силу, если в ней
действительное число
α заменить на комплексное число
λ
. В силу замечания 8.4 уравнение
)(xPeLy
N
xλ
=
имеет частное
решение
)()()(
)2(
ч
xQexQexQey
N
x
N
x
N
x λλλ
=== .
В силу принципа суперпозиции решений, уравнение (8.1) с правой частью (8.11) имеет частное решение вида
=+=+=
β−αβ+α
)()(
)()()2(
ч
)1(
чч
xQexQeyyy
N
xi
N
xi
()
(
)
() ()cos () ()sin
x
NN NN
eQxQx xiQxQx x
α

=+β+−β=

[
]
2Re ( )cos 2Im ( )sin
x
NN
eQxxQxx
α
=β−β=
[
]
()cos ()sin
x
NN
eSx xTx x
α
=β+β.
Собирая начало и конец записи, получаем формулу (8.14).
Замечание 8.5. При практическом нахождении частного решения вида (8.14) уравнения (8.1) со специальной правой
частью вида (8.11) поступают следующим образом: функцию вида (8.14) с неопределёнными пока коэффициентами
многочленов
)(xS
N
, )(xT
N
подставляют в уравнение (8.1); затем сокращают обе части полученного соотношения на общий
множитель
x
e
α
и приравнивают коэффициенты при выражениях вида xx
k
βcos и выражениях вида xx
k
βsin ; из полученной
системы алгебраических уравнений находят коэффициенты многочленов
)(xS
N
, )(xT
N
и подставляют их в формулу (8.14).
Замечание 8.6. Частными случаями специальной правой части вида (8.11) являются правые части вида
xxAxf
m
β
= cos)()( , ( 0
=
, 0)(
≡
xB
l
);
xxBxf
β
= sin)()(
l
, ( 0
=
, 0)(
≡
xA
m
);
xxAexf
m
x
β=
α
cos)()( , ( 0)(
≡
xB
l
);
xxBexf
x
β=
α
sin)()(
l
, ( 0)(
≡
xA
m
).
Пример 8.6. Уравнение
(
)
xxxxeyyy
x
3sin53cos127
22
+=+
′
−
′′
имеет частное решение вида

Страницы