Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

a
yay
=
)( ,
b
yby =)( , (8.16)
т.е. найти такую интегральную кривую дифференциального уравнения (8.15), начальной и конечной точками которой
являются соответственно точки
(
)
a
yaA , и
()
b
ybB , (рис. 8.1).
Условия (8.16) называются краевыми условиями первого рода.
Вторая краевая задача (или задача Неймана): найти на промежутке
] ,[ ba такое решение дифференциального
уравнения (8.15), производная которого на концах промежутка принимает заданные значения
a
y
′
,
b
y
′
:
a
yay
′
=
′
)( ,
b
yby
′
=
′
)( . (8.17)
Условия (8.17) называют краевыми условиями второго рода.
Рис. 8.1
Третья краевая задача: найти на промежутке
] ,[ ba решение дифференциального уравнения (8.15), удовлетворяющее
на концах промежутка следующим условиям:
a
uayayk
=
′
+ )()(
11
l ,
b
ubybyk
=
′
+
)()(
22
l ,
где
1
k ,
1
l ,
2
k ,
2
l ,
a
u ,
b
u – некоторые заданные числа.
Каждая из перечисленных задач называется двухточечной краевой задачей.
При выполнении определённых условий (см. теорему 3.1) задача Коши для дифференциального уравнения (8.15) имеет
единственное решение. Иначе обстоит дело в случае краевой задачи. Краевая задача имеет либо единственное решение, либо
более одного решения, либо не имеет ни одного решения.
Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение
0
=
+
′
′
yy . (8.18)
Найдём его общее решение: 01
2
=+λ , i=λ
1
, i
−
=λ
2
; ФСР : xy cos
1
=
, xy sin
2
=
,
xCxCy sincos
21
+
=
, (8.19)
где
1
C ,
2
C – свободные параметры.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения (8.18) с граничными условиями
1
6
=
π
y , 1
3
=
π
y . (8.20)
Выясним, можно ли подобрать в формуле (8.19) значения параметров
1
C ,
2
C таким образом, чтобы выполнялись условия
(8.20).
Согласно (8.20)
=
π
+
π
=
π
+
π
, 1
3
sin
3
cos
; 1
6
sin
6
cos
21
21
CC
CC
или
=+
=+
, 1
2
3
2
1
; 1
2
1
2
3
21
21
CC
CC

Страницы