Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

. 23
; 23
21
21
=+
=+
CC
CC
(8.21)
Решим систему (8.21) по правилу Крамера:
2
31
13
==∆ , 232
32
12
1
−==∆ , 232
21
23
2
−==∆ ,
∆
∆
=
1
1
C ,
∆
∆
=
2
2
C ,
13
1
−=C , 13
2
−=C .
Итак, краевая задача (8.18), (8.20) имеет единственное решение
(
)
(
)
31cos 31sinyxx=− +− .
Рассмотрим краевую задачу для уравнения (8.18) с граничными условиями
1)0(
=
y , 1)( −=πy . (8.22)
Согласно (8.22)
−=π+π
=+
1sincos
10sin0cos
21
21
CC
CC
. 1
; 1
1
1
=⇒
=⇒
C
C
Мы видим, что ограничений на параметр
2
C нет. Таким образом, краевая задача (8.18), (8.22) имеет бесконечное множество
решений
2
cos sinyxCx
=
+ ,
где
2
C – свободный параметр.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения (8.18) с граничными условиями
1)0(
=
y , 1)( =πy . (8.23)
Согласно (8.23)
=π+π
=+
1sincos
10sin0cos
21
21
CC
CC
. 1
, 1
1
1
−=⇒
=⇒
C
C
Следовательно, краевая задача (8.18), (8.23) не имеет решений.
Лекция 9. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Основные определения, нормальная система дифференциальных уравнений, задача Коши, теорема существования и
единственности решения задачи Коши, общее решение, частное решение, приложение к динамике материальной точки,
метод исключения неизвестных.
Системой n дифференциальных уравнений первого порядка с n неизвестными называется система вида
(
)
()
()
=
′′′
=
′′′
=
′′′
, 0 , ... , , , , ... , , ,
...........................................................
; 0 , ... , , , , ... , , ,
; 0 , ... , , , , ... , , ,
2121
21212
21211
nnn
nn
nn
yyyyyyxF
yyyyyyxF
yyyyyyxF
(9.1)
где )(
11
xyy = , )(
22
xyy = , …, )(xyy
nn
= – неизвестные функции независимой переменной ] ,[ bax ∈ ; )(
11
xyy
′
=
′
, )(
22
xyy
′
=
′
,
…,
)(xyy
nn
′
=
′
– производные неизвестных функций;
n
FFF , ... , ,
21
– некоторые заданные функции
)12( +n
-й переменной.
Замечание 9.1. В качестве области изменения независимой переменной
x
может выступать также одно из следующих
множеств:
],( ba ; ),[ ba ; ),( ba ; ), ( b
−
∞ ; ], ( b
−
∞ ; ) ,(
+
a ; ) ,[
+
a ; ) , ( ∞+
−
∞ .
Решением системы (9.1) называется совокупность n непрерывно дифференцируемых функций )(
11
xy ϕ= ; )(
22
xy
ϕ
=
,
…,
)(xy
nn
ϕ= , при подстановке которых в уравнения системы получаются тождества относительно независимой
переменной
] ,[ bax ∈ , при этом функции )(, ... ),( ),(
21
xxx
n
ϕ
ϕϕ называются компонентами этого решения.

Страницы