Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Беря различные значения для
00
2
0
1
, ... , ,
n
ξξξ , получаем бесконечное множество решений системы (9.2). В связи с этим
введём следующее определение.
Общим решением системы дифференциальных уравнений (9.2) называется n-параметрическое семейство наборов из n
функций
(
)
()
()
11 12
22 12
12
, , , ... , ,
, , , ... , ,
...........................................
, , , ... , ,
n
n
nn n
yxCCC
yxCCC
yxCCC
=ϕ
=ϕ
=ϕ
(где
n
CCC , ... , ,
21
– параметры;
()
nn
PCCC ∈, ... , ,
21
,
n
n
P Ρ⊆
), удовлетворяющее следующим условиям:
а) любой набор функций из этого семейства является решением системы уравнений (9.2), т.е. при любом
фиксированном наборе значений параметров
(
)
nn
PCCC ∈
**
2
*
1
, ... , , набор функций
(
)
**
2
*
1
*
, ... , , ,
nii
CCCxy ϕ= , ni
≤
≤
1 ,
является решением системы уравнений (9.2);
б) любое решение системы уравнений (9.2), удовлетворяющее заданным начальным условиям (9.3), принадлежит этому
семейству, т.е. найдётся набор значений параметров
(
)
nn
PCCC ∈
00
2
0
1
, ... , , , такой, что набор функций
(
)
00
2
0
1
0
, ... , , ,
nii
CCCxy ϕ= , ni
≤
≤
1 ,
является решением задачи Коши (9.2), (9.3).
Частным решением системы дифференциальных уравнений называется её решение, которое получается из общего
решения этой системы при конкретном наборе значений параметров
(
)
nn
PCCC
∈
, ... , ,
21
.
Замечание 9.2. Если на параметры
n
CCC , ... , ,
21
ограничений нет, т.е.
n
n
P Ρ= , то эти параметры называют
свободными параметрами (или произвольными постоянными).
Нормальные системы дифференциальных уравнений используются для изучения динамики материальной точки.
Пусть в нормальной системе в качестве независимой переменной выступает время
t
, а в качестве неизвестных функций
)(
11
txx = ; )(
22
txx = , …, )(txx
nn
= , т.е. система имеет вид
(
)
()
()
=
′
=
′
=
′
. , ... , , ,
..........................................
; , ... , , ,
; , ... , , ,
21
2122
2111
nnn
n
n
xxxtfx
xxxtfx
xxxtfx
(9.4)
Начальные условия (9.3) принимают вид
0
101
)( ξ=tx ,
0
202
)( ξ=tx , …,
0
0
)(
nn
tx ξ= , (9.5)
где
0
t – некоторое заданное число, называемое начальным моментом времени;
00
2
0
1
, ... , ,
n
ξξξ – некоторые заданные числа,
при этом точка
(
)
n
n
M Ρ∈ξξξ
00
2
0
10
, ... , , называется начальной точкой.
Решение задачи Коши (9.4), (9.5)
)(
11
tx ϕ= ; )(
22
tx
ϕ
=
, … , )(tx
nn
ϕ
=
можно трактовать как закон движения
материальной точки в n-мерном пространстве
n
Ρ , находившейся в начальный момент времени
0
t в начальной точке
(
)
00
2
0
10
, ... , ,
n
M ξξξ . Пространство
n
Ρ
, в котором происходит движение материальной точки, называется фазовым
пространством (в случае
2
Ρ – фазовой плоскостью). Кривую
n
L
Ρ
⊂ вида
()
}
12
( ), ( ), ... , ( ) |
n
Ltt tt=ϕ ϕ ϕ ∈R
называют фазовой траекторией движения материальной точки. Таким образом компоненты решения задачи Коши (9.4),
(9.5)
)(
11
tx ϕ= ; )(
22
tx ϕ= , … , )(tx
nn
ϕ= ( Ρ∈t ) представляют собой параметрические уравнения фазовой траектории
движения материальной точки.
Правые части уравнений системы (9.4) задают поле скоростей движущейся материальной точки.
Исследуем, например, движение материальной точки, описываемое системой
=
′
=
′
, 2
,
22
11
xx
xx
(9.6)
и начальными условиями
1)0(
1
=
x , 1)0(
2
=x . (9.7)
;
;

Страницы