Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В данном определении предполагается, что функции )(
11
xy
ϕ
=
, )(
22
xy
ϕ
=
, …, )(xy
nn
ϕ= удовлетворяют
следующему условию
(
)
(
)
jnn
FDxxxxxxx
∈
ϕ
′
ϕ
′
ϕ
′
ϕ
ϕϕ )(, ... ),( ),( ),(, ... ),( ),( ,
2121
;
∀
] ,[ bax
∈
,
∀
nj
≤
≤
1 ,
где
(
)
j
FD
– область определения функции
j
F
.
Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида
(
)
()
()
=
′
=
′
=
′
, , ... , , ,
..........................................
; , ... , , ,
; , ... , , ,
21
2122
2111
nnn
n
n
yyyxfy
yyyxfy
yyyxfy
(9.2)
т.е. система вида (9.1), уравнения которой разрешены относительно производных неизвестных функций.
Задачей Коши для системы (9.2) называется задача нахождения решения системы (9.2), удовлетворяющего заданным
условиям
0
101
)( ξ=xy ;
0
202
)( ξ=xy , …,
0
0
)(
nn
xy ξ= , (9.3)
где
0
x – некоторое заданное значение из промежутка ] ,[ ba ; ... , ,
0
2
0
1
ξξ ,
0
n
ξ – некоторые заданные числа. Числа
00
2
0
10
, ... , , ,
n
x ξξξ называются начальными данными, при этом
00
2
0
1
, ... , ,
n
ξξξ называются начальными значениями; условия (9.3)
– начальными условиями.
Укажем условия, при выполнении которых задача Коши (9.2), (9.3) имеет единственное решение [1.3, с. 188].
Теорема 9.1 (теорема Пикара). Пусть правые части уравнений системы (9.2) определены в области
()
{}
10
12 0
, , ,..., ; , 1, 2,...,
n
nkk
Dxyy y xx y k n
+
=∈−≤µ−ξ≤ν=R
(здесь µ ,
ν
– некоторые заданные положительные числа) и удовлетворяют на D следующим условиям:
1)
()
nk
yyyxf , ... , , ,
21
( 1, 2,...,kn= ) непрерывны по всем своим аргументам и, следовательно, ограничены, т.е.
существует такое положительное число М, что для любой точки
(
)
Dyyyx
n
∈
, ... , , ,
21
()
Myyyxf
nk
≤ , ... , , ,
21
; 1, 2,...,kn
;
2)
()
nk
yyyxf , ... , , ,
21
( 1, 2,...,kn= ) имеют ограниченные частные производные по аргументам
n
yyy , ... , ,
21
, т.е.
существует такое положительное число K, что для любой точки
(
)
Dyyyx
n
∈
, ... , , ,
21
()
K
y
yyyxf
nk
≤
∂
∂
l
, ... , , ,
21
; ,1,2,...,kn
=
l .
Тогда задача Коши (9.2), (9.3) имеет единственное решение, определённое, по крайней мере, при
[]
hxhxx
+
−
∈
00
, , где
ν
µ=
M
h ,min
.
Пусть правые части уравнений системы (9.2) определены в некоторой области
1+
⊆
n
G Ρ . Пусть выполняется
следующее условие: для каждой точки области G существует
)1(
+
n – мерный параллелепипед с центром в этой точке,
расположенный в области G , на котором выполняются условия теоремы 9.1. Тогда каждое локальное решение системы (9.2)
можно продолжить до полного решения этой системы.
Зафиксируем некоторое
Ρ
∈
0
x , такое, что множество
(
)
{
}
012 0
,, , ... , |
n
Gxyy yGxx=∈=
не пусто. В качестве начальных значений возьмём любые
00
2
0
1
, ... , ,
n
ξξξ , такие что
(
)
0
00
2
0
10
, ... , , , Gx
n
∈ξξξ . Тогда задача Коши
(9.2), (9.3) имеет единственное решение (для каждого набора начальных значений
,
0
1
ξ
00
2
, ... ,
n
ξξ
решение своё):
(
)
()
()
00 0
11 12
00 0
22 12
00 0
12
, , , ... , ,
, , , ... , ,
........................................
, , , ... , .
n
n
nn n
yx
yx
yx
=ϕ ξ ξ ξ
=ϕ ξ ξ ξ
=ϕ ξ ξ ξ
;
;

Страницы