Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Задача (9.6), (9.7) имеет решение
t
ex =
1
,
t
ex
2
2
= , (9.8)
т.е. закон движения материальной точки, находившейся в начальный момент времени 0=t в начальной точке )1;1(
0
M
фазовой плоскости, задаётся соотношениями (9.8), которые можно записать в виде
2
12
xx =
( 0
1
>x ). Таким образом, фазовой
траекторией движения материальной точки является полупарабола вида, представленного на рис. 9.1.
Рис. 9.1
Направление движения материальной точки при возрастании
t
показано на рис. 9.1 стрелкой.
Нормальную систему (9.2) можно решить методом исключения неизвестных: привести её к одному уравнению n-го
порядка относительно одной неизвестной функции, решить это уравнение, а затем найти остальные
1
−
n неизвестные
функции.
Продифференцируем, например, первое уравнение системы (9.2)
1
−
n раз по
x
, заменяя после каждого
дифференцирования производные неизвестных функций
n
yyy
′
′
′
, ... , ,
21
их значениями из системы (9.2):
()()
()()
()()
=
∂
∂
+
+
∂
∂
=
′
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
+
∂
∂
=
′
∂
∂
+
∂
∂
=
′′′
=
∂
∂
+
+
∂
∂
=
′
∂
∂
+
∂
∂
=
′′
−
=
−
−
=
−−
−
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
; , ... , , ,Ф , ... , , ,
Ф
ФФФ
....................................................................................
; , ... , , ,Ф , ... , , ,
Ф
ФФФ
; , ... , , ,Ф , ... , , ,
21121
1
2
2
1
22
)1(
1
21321
1
2
2
1
22
1
21221
1
1
1
1
11
1
nn
def
ni
n
i
i
n
n
i
n
i
i
nn
n
n
def
ni
n
i
i
i
n
i
i
n
def
ni
n
i
i
i
n
i
i
yyyxyyyxf
y
x
y
yx
y
yyyxyyyxf
y
x
y
yx
y
yyyxyyyxf
y
f
x
f
y
y
f
x
f
y
(9.9)
+
∂
∂
=
′
∂
∂
+
∂
∂
=
−
=
−−
∑
x
y
yx
y
n
i
n
i
i
nn
n
1
1
11
)(
1
ФФФ
()
ni
n
i
i
n
yyyxf
y
, ... , , ,
Ф
21
1
1
∑
=
−
∂
∂
+
()
. , ... , , ,Ф
21 nn
def
yyyx= (9.10)
Рассмотрим систему 1−n уравнений относительно 1
−
n неизвестных
n
yyy , ... , ,
32
, составленную из первого уравнения
системы (9.2) и уравнений (9.9) :
(
)
()
()
()
=
′′′
=
′′
=
′
=
−
−
. , ... , , ,Ф
............................................
; , ... , , ,Ф
; , ... , , ,Ф
; , ... , , ,
)1(
1
211
1213
1212
1211
n
nn
n
n
n
yyyyx
yyyyx
yyyyx
yyyyxf
(9.11)
Решая систему (9.11), получаем

Страницы