Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 10. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Понятие системы линейных дифференциальных уравнений; однородная система: основное свойство решений,
определитель Вронского, необходимое условие линейной независимости n решений, теорема о структуре общего решения,
фундаментальная система решений (ФСР), необходимое условие линейной зависимости n решений, способ проверки n
решений на линейную независимость, теорема о существовании ФСР.
Частным случаем нормальной системы дифференциальных уравнений (9.2) является система линейных
дифференциальных уравнений. По определению, это система вида
++++=
′
++++=
′
++++=
′
)()(...)()(
.........................................................................
)()(...)()(
)()(...)()(
2211
222221212
112121111
,xfyxayxayxay
,xfyxayxayxay
,xfyxayxayxay
nnnnnnn
nn
nn
(10.1)
где
)(xa
ij
(
nji ≤≤ ,1
) – некоторые заданные непрерывные вещественные функции независимой переменной ] ,[ bax
∈
,
называемые коэффициентами системы;
)(
1
xf , )(
2
xf , … , )(xf
n
– некоторые заданные непрерывные вещественные
функции независимой переменной
] ,[ bax ∈ , называемые свободными членами системы.
Если
0)(
1
≡xf ; 0)(
2
≡xf , … , 0)( ≡xf
n
для ] ,[ bax
∈
, то система (10.1) принимает вид
+++=
′
+++=
′
+++=
′
)(...)()(
.................................................................
)(...)()(
)(...)()(
2211
22221212
12121111
yxayxayxay
,yxayxayxay
,yxayxayxay
nnnnnn
nn
nn
(10.2)
и называется однородной.
Чтобы различать системы (10.1) и (10.2), систему (10.1) называют неоднородной.
Для выполнения условий теоремы 9.1 достаточно, чтобы коэффициенты и свободные члены системы (10.1) были
непрерывны на промежутке
] ,[ ba . В этом случае любая задача Коши для системы (10.1) имеет единственное решение.
Считая в начальных условиях (9.3)
0
x фиксированным и изменяя начальные значения
00
2
0
1
, ... , ,
n
ξξξ , получаем бесконечное
множество решений системы (10.1).
Заметим, что ранее изученное ЛНДУ n-го порядка (см. лекцию 5)
)()()( ... )(
1
)1(
1
)(
xfyxayxayxay
nn
nn
=+
′
+++
−
−
можно свести к неоднородной системе линейных дифференциальных уравнений.
Действительно, положим
)()(
1
xyxz
=
; )()(
2
xyxz
′
= , … , )()(
)2(
1
xyxz
n
n
−
−
= , )()(
)1(
xyxz
n
n
−
= .
Тогда
+−−−−=
′
=
′
=
′
=
′
−
−
. )()( ... )()(
,
..............
,
,
1211
1
32
21
xfzxazxazxaz
zz
zz
zz
nnnn
nn
Соответствующее ЛОДУ n-го порядка сводится к однородной системе линейных дифференциальных уравнений.
Системы уравнений вида (10.1), (10.2) можно записать в матричной форме. Пусть
==
)(
)(
)(
)(
2
1
xy
xy
xy
xyy
n
M
,
′
′
′
=
′
=
′
)(
)(
)(
)(
2
1
xy
xy
xy
xyy
n
M
,
=
)(
)(
)(
)(
2
1
xf
xf
xf
xf
n
M
,
=
)(...)()(
............................
)(...)()(
)(...)()(
)(A
21
22221
11211
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
x
nnnn
n
n
.
Тогда системы уравнений (10.1), (10.2) принимают соответственно следующий вид:
)()(A xfyxy +
=
′
, (10.3)

Страницы