Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
()
()
′′′
ψ=
′′′
ψ=
′′′
ψ=
−
−
−
. , ... , , , ,
....................................................
; , ... , , , ,
; , ... , , , ,
)1(
1
111
)1(
1
11133
)1(
1
11122
n
nn
n
n
yyyyxy
yyyyxy
yyyyxy
(9.12)
Подставляя в (9.10) вместо
n
yyy , ... , ,
32
их выражения из (9.12), имеем
()
(
)()
def
n
n
n
n
n
yyyyxyyyyxyxy =
′′′
ψ
′′′
ψΦ=
−−
, ... , , , ,, ... , , ... , , , ,,,
)1(
1
111
)1(
1
11121
)(
1
()
. , ... , , ,
)1(
1
111
−
′′′
=
n
yyyyxf
Итак, получено уравнение n-го порядка относительно неизвестной функции
1
y :
(
)
. , ... , , , ,
)1(
1
111
)(
1
−
′′′
=
nn
yyyyxfy
(9.13)
Решая уравнение (9.13), находим
1
y . Зная
1
y , остальные неизвестные функции находим по формулам (9.12).
Решим, например, методом исключения неизвестных систему дифференциальных уравнений
−−=
′
+=
′
. 53
, 35
212
211
yyy
yyy
(9.14)
1. Продифференцируем какое-либо из уравнений системы, например, первое, по переменной
x
:
211
35 yyy
′
+
′
=
′
′
.
2. Подставим в полученное уравнение вместо производной
2
y
′
её выражение из второго уравнения системы:
(
)
2111
5335 yyyy
−
−
+
′
=
′
′
,
2111
1595 yyyy
−
−
′
=
′
′
.
3. Подставим в полученное уравнение вместо функции
2
y её выражение из первого уравнения системы:
()
112
5
3
1
yyy −
′
=
, (9.15)
(
)
11111
5595 yyyyy
−
′
−
−
′
=
′
′
,
016
11
=
−
′
′
yy .
4. Найдём из полученного уравнения
1
y :
016
2
=−λ , 4
1
−
=
λ
, 4
2
=
λ
,
xx
eCeCy
4
2
4
11
+=
−
.
5. Найдём
2
y по формуле (9.15):
()
xxxx
eCeCeCeCy
4
2
4
1
4
2
4
12
5544
3
1
−−+−=
−−
,
xx
eCeCy
4
2
4
12
3
1
3 −−=
−
.
Итак,
−−=
+=
−
−
,
3
1
3
,
4
2
4
12
4
2
4
11
xx
xx
eCeCy
eCeCy
(9.16)
где
21
, CC – свободные параметры.
Двупараметрическое семейство наборов функций (9.16) является общим решением системы уравнений (9.14). Её
частными решениями будут, например, наборы функций, полученные при значениях параметров
1 , 1
21
=
=
CC или
3
1
,
2
1
21
−== CC :
−−=
+=
−
−
,
3
1
3
,
44
2
44
1
xx
xx
eey
eey
+−=
−=
−
−
.
9
1
2
3
,
3
1
2
1
44
2
44
1
xx
xx
eey
eey

Страницы