Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

yxy )(A
=
′
, (10.4)
где )(xyy = – неизвестная вектор-функция; )(xyy
′
=
′
– её производная; )(xf – вектор-столбец свободных членов; )(A x –
матрица системы линейных дифференциальных уравнений.
В дальнейшем будет видно, что доказательство основных фактов теории систем линейных дифференциальных
уравнений аналогично доказательству соответствующих утверждений для линейного дифференциального уравнения n-го
порядка. Разница лишь в том, что в первом случае приходится работать с вектор-функциями, а во втором случае – со
скалярными функциями.
Изучим вначале однородную систему линейных дифференциальных уравнений, т.е. систему (10.4).
Замечание 10.1. Нулевая вектор-функция
T
)0 , ... ,0 ,0()( ≡= xyy
является решением системы (10.4).
Рассмотрим m столбцовых вектор-функций
(
)
T
21
)(
)( , ... ),( ),()( xxxx
njjj
j
ψψψ=ψ , mj
≤
≤1 , (10.5)
определённых на промежутке ] ,[ ba .
Замечание 10.2. В записи (10.5) индекс в скобках сверху в левой части означает номер вектор-функции; в правой части
второй индекс – это номер вектор-функции, а первый индекс – номер компоненты этой вектор-функции.
Линейной комбинацией вектор-функций (10.5) с коэффициентами
Ρ
∈
λ
λ
λ
m
, ... , ,
21
называется выражение вида
)(...)()(
)()2(
2
)1(
1
xxx
m
m
ψλ++ψλ+ψλ .
Как и в скалярном случае (см. лекцию 4), линейная комбинация вектор-функций называется тривиальной, если все её
коэффициенты равны нулю, и нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, т.е. если
0
1
2
≠λ
∑
=
m
i
i
.
Система вектор-функций (10.5) называется линейно независимой на промежутке ] ,[ ba , если их линейная комбинация
равна нулю на этом промежутке только тогда, когда она тривиальна. В противном случае система вектор-функций (10.5)
называется линейно зависимой на промежутке
] ,[ ba . Таким образом, система вектор-функций называется линейно
зависимой на промежутке
] ,[ ba , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих функций, равная
нулю на промежутке
] ,[ ba .
Докажем основное свойство решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 10.1. Произвольная линейная комбинация любого числа решений системы (10.4) является решением этой
системы.
Пусть
()
T
21
)(
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
njjj
j
= , ( mj
≤
≤
1 ) – решения системы (10.4); Ρ∈λλ
λ
m
, ... , ,
21
.
Положим
)()(
)(
1
xyxy
j
m
j
j
∑
=
λ= . (10.6)
Тогда
() ()
11
() () ()
mm
jj
jj
jj
yx y x y x
==
′

′

′
=λ =λ =




∑∑
() () ()
11 1
A() () A() () A() () A()()
mm m
jjj
jjj
jj j
x
yx xyx x yx xyx
== =
=λ = λ = λ =
∑∑ ∑
.
Получили )()(A)( xyxxy =
′
, т.е. линейная комбинация (10.6) является решением системы (10.4).
Пусть
0
Ω – множество решений системы (10.4).
В силу теоремы 10.1, если имеется n решений
(
)
T
21
)(
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
njjj
j
= , nj
≤
≤1 , (10.7)
системы (10.4), то семейство вектор-функций вида
)(...)()(
)()2(
2
)1(
1
xyCxyCxyCy
n
n
+++= , (10.8)
содержащее n свободных параметров
12
, , ...,
n
CC C, задаёт некоторое множество W решений системы (10.4), т.е.
0
W
Ω
⊂ .
Выясним, при каких условиях на решения (10.7) семейство вектор-функций (10.8) является общим решением системы
(10.4), т.е.
0
W Ω= .

Страницы