Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

представить в виде (10.8). Пусть
()
T
21
)(
~
, ... ),(
~
),(
~
)(
~
xyxyxyxy
n
= – произвольное фиксированное решение системы (10.4).
Возьмём некоторое
] ,[
0
bax ∈ . Рассмотрим вектор-столбец
()
T
002010
0
)(
~
, ... ),(
~
),(
~
)(
~
~
xyxyxyxyy
n
== . Тогда )(
~
xy является
решением задачи Коши
yxy )(A
=
′
, (10.12)
0
0
~
)( yxy = . (10.13)
Составим систему n линейных уравнений относительно скалярных неизвестных
n
αα
α
, ... , ,
21
, определитель которой
равен вронскиану решений (10.7) во взятой точке
0
x , а правые части этих уравнений равны компонентам вектора
()
T
00
2
0
1
0
~
, ... ,
~
,
~~
n
yyyy = (здесь )(
~
~
0
0
xyy
ii
= , ni ≤≤1 ):
=α++α+α
=α++α+α
=α++α+α
.
~
)( ... )()(
.....................................................................
,
~
)( ... )()(
,
~
)( ... )()(
0
0202101
0
20220221021
0
10120121011
nnnnnn
nn
nn
yxyxyxy
yxyxyxy
yxyxyxy
(10.14)
По условию теоремы решения (10.7) линейно независимы на ] ,[ ba . Следовательно, в силу теоремы 10.2 определитель
системы (10.14)
0)W(
0
≠=∆ x . А это означает, что система (10.14) имеет единственное решение
(
)
**
2
*
1
, ... , ,
n
ααα [2.2, с. 68].
Рассмотрим вектор-функцию вида (10.8) с
*
11
α=C ,
*
22
α=C , … ,
*
nn
C α= :
)(...)()()(
)(*)2(*
2
)1(*
1
*
xyxyxyxy
n
n
α++α+α= .
Эта вектор-функция является решением системы (10.12). Так как
(
)
**
2
*
1
, ... , ,
n
ααα – решение системы (10.14), то
0
0
0
2
0
1
0
*
02
*
201
*
1
02
*
022
*
2021
*
1
01
*
012
*
2011
*
1
0
*
~
~
...
~
~
)(...)()(
.............................................................
)(...)()(
)(...)()(
)( y
y
y
y
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
xy
nnnnnn
nn
nn
=
=
α++α+α
α++α+α
α++α+α
=
,
т.е. вектор-функция )(
*
xy удовлетворяет начальному условию (10.13). Таким образом, )(
*
xy является решением задачи
Коши (10.12), (10.13). В силу единственности решения задачи Коши (см. теорему 9.1)
)(
~
xy совпадает с )(
*
xy :
)( ... )()()(
~
)(*)2(*
2
)1(*
1
xyxyxyxy
n
n
α++α+α= .
Итак, произвольно взятое решение системы (10.4) представлено в виде (10.8).
В связи с тем, что на основе n линейно независимых решений системы (10.4) можно построить её общее решение,
вводится следующее определение.
Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы n линейных дифференциальных уравнений называется
любой набор n линейно независимых на промежутке
] ,[ ba решений этой системы.
Выясним, как проверять, будет ли данная система n решений (10.7) системы (10.4) линейно независимой на промежутке
] ,[ ba , т.е. будет ли она являться ФСР для системы (10.4). Для этого укажем вначале необходимое условие линейной
зависимости n решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 10.4. Если решения (10.7) системы (10.4) линейно зависимы на промежутке ] ,[ ba , то их вронскиан )W(x
равен нулю при любом
] ,[ bax ∈ .
По условию теоремы решения (10.7) линейно зависимы на ] ,[ ba . Следовательно, существует нетривиальная
линейная комбинация решений (10.7), равная нулю:
0)( ... )()(
)()2(
2
)1(
1
=λ++λ+λ xyxyxy
n
n
, ∀ ] ,[ bax
∈
, (10.15)
где среди чисел
n
λλλ , ... , ,
21
имеется хотя бы одно, отличное от нуля. Пусть 0
≠
λ
k
. Тогда в силу (10.15)
)()(
)(
1
xyxy
j
n
kj
j
k
j
k
∑
≠
=
λ
λ
−=
, ∀ ] ,[ bax ∈ . (10.16)
В силу (10.16) k -й столбец вронскиана )W(x решений (10.7) является линейной комбинацией его других столбцов. Из
линейной алгебры известно [2.3, с. 42] , что такой определитель равен нулю. Следовательно,
0)W( =x для ] ,[ bax
∈
.
Следствие 10.2. Если вронскиан )W(x решений (10.7) системы (10.4) в некоторой точке ] ,[
*
bax ∈ отличен от нуля, то
эти решения линейно независимы на промежутке
] ,[ ba .

Страницы