Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

** *
() () () () () A() ()ux yx yx yx yx xyx
′′′

′
=+ = + = +

oo
(
)
*
() A() () A() () () () A() () ()fx xy x x y x y x fx xux fx++ = + + = +
oo
.
Получили ()=A()() ()ux xux fx
′
+ , т.е. вектор-функция )(xu является решением системы (11.1).
Замечание 11.2. Разность любых двух решений неоднородной системы (11.1) является решением соответствующей
однородной системы (11.2).
Действительно, пусть
()
T
12111
)1(
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
n
= ,
()
T
22212
)2(
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
n
= – решения системы (11.1),
=)(xv )()(
)2()1(
xyxy −= . Тогда
(1) (2) (1) (2)
() () () () ()vx yxy x yx y x
′
′′

′
=− = − =

(1) (2)
A() () () A() () ()
x
yx fx xy x fx=+−−=
()
(1) ( 2)
A() () () A()()
x
yxy x xvx=−=.
Получили ()=A()()vx xvx
′
, т.е. вектор-функция )(xv является решением системы (11.2).
Теорема 11.1. Если
()
T
21
)(
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
njjj
j
= , nj
≤
≤
1 , – ФСР для системы (11.2), а
()
T
**2*1
*
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
n
= – фиксированное частное решение системы (11.1), то общее решение системы (11.1)
задаётся формулой
∑
=
+=
n
j
j
j
xyCxyy
1
)(*
)()( , (11.3)
где
12
, , ...,
n
CC C– свободные параметры.
В силу замечания 11.1 при любых фиксированных значениях параметров
12
, , ...,
n
CC C функция вида (11.3) является
решением системы (11.1). Покажем, что любое решение системы (11.1) можно представить в виде (11.3). Пусть
()
T
21
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
n∆∆∆
∆
= – произвольное фиксированное решение системы (11.1). В силу замечания 11.2 вектор-
функция
)()()(
*
xyxyxh −=
∆
является решением системы (11.2). В силу теоремы 10.3 это решение можно записать в виде
∑
=
∆
=−
n
j
j
j
xyCxyxy
1
)(*
)(
~
)()( ,
откуда
∑
=
∆
+=
n
j
j
j
xyCxyxy
1
)(*
)(
~
)()( ,
т.е. решение )(xy
∆
представимо в виде (11.3).
В силу теоремы 10.3 общее решение (11.3) системы (11.1) можно записать в виде
0.0
*
yyy += ,
где
*
y – частное решение системы (11.1);
0.0
y – общее решение системы (11.2).
Таким образом, общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений представимо в виде
суммы её частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.
Рассмотрим некоторую ФСР
(
)
T
21
)(
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
njjj
j
= , nj
≤
≤1 , (11.4)
системы (11.2).
Фундаментальной матрицей однородной системы линейных дифференциальных уравнений (11.2), соответствующей
ФСР (11.4), называется квадратная матрица порядка
n, j -й столбец которой образуют компоненты j -го решения )(
)(
xy
j
ФСР (11.4), т.е. матрица вида
=
)(...)(...)()(
..........................................
)(...)(...)()(
)(...)(...)()(
)Y(
21
222221
111211
xyxyxyxy
xyxyxyxy
xyxyxyxy
x
nnnjnn
nj
nj
.

Страницы