Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 11.3. Определитель фундаментальной матрицы, соответствующей ФСР (11.4), равен определителю
Вронского решений (11.4):
)(W)(Ydet xx
=
. (11.5)
Замечание 11.4. Фундаментальная матрица )(Y x является невырожденной при любом ] ,[ bax ∈ , т.е.
0)(Ydet
≠
x ,
∀
] ,[ bax ∈ . (11.6)
Действительно, по определению ФСР, решения (11.4) линейно независимы на промежутке ] ,[ ba . Следовательно, по
теореме 10.2 вронскиан
)(W x этих решений отличен от нуля для
∀
] ,[ bax
∈
. Тогда из (11.5) следует (11.6).
Замечание 11.5. Фундаментальная матрица )(Y x имеет обратную матрицу )(Y
1
x
−
при любом ] ,[ bax ∈ :
)(Y
1
x
−
∃
,
∀
] ,[ bax ∈ . (11.7)
Действительно, из линейной алгебры известно [2.2, с.37], что всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.
Замечание 11.6. Общее решение
T
11 1
21
1
)(
)( , ... ),( ),()(
==
∑∑ ∑∑
== ==
n
j
n
j
n
j
njjjjjj
n
j
j
j
xyCxyCxyCxyCy
системы (11.2) можно записать в виде
C)(Y xy
=
, (11.8)
где
()
T
21
, ... , ,C
n
CCC= – вектор-столбец свободных параметров.
Замечание 11.7. Справедлива формула
)(Y)(A)(Y xxx
=
′
. (11.9)
Действительно, имеем
()
(1) (2) ( )
,1
Y ( ) ( ) ( ) , ( ) , ... , ( )
n
n
ij
ij
xyx yx yx yx
=

′
′′

′′
== =



()
(1) ( 2) ( )
A( ) ( ), A( ) ( ), ... , A( ) ( )
n
xy x xy x xy x==
)(Y)(A
)(...)()(
.............................................................
)(...)()(
)(...)()(
11
2
1
1
1
2
1
22
1
12
1
1
1
21
1
11
xx
xyaxyaxya
xyaxyaxya
xyaxyaxya
n
k
knnk
n
k
knk
n
k
knk
n
k
knk
n
k
kk
n
k
kk
n
k
knk
n
k
kk
n
k
kk
=
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
.
Собирая начало и конец записи, получаем формулу (11.9).
Если известна некоторая ФСР (11.4) однородной системы (11.2), то общее решение неоднородной системы (11.1) можно
найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), который заключается в следующем.
1. Находим общее решение соответствующей однородной системы (11.2) :
∑
=
=
n
j
j
j
xyCxy
1
)(
0.0
)()( . (11.10)
2. Ищем общее решение неоднородной системы (11.1) в том же виде, какой имеет общее решение соответствующей
однородной системы (11.2), но только вместо свободных параметров
n
CCC , ... , ,
21
записываем некоторые неизвестные пока
функции
)(, ... ),( ),(
21
xCxCxC
n
:
∑
=
=
n
j
j
j
xyxCxy
1
)(
)()()( . (11.11)
В силу (11.8) функцию (11.11) можно записать в виде
)C()(Y)( xxxy
=
, (11.12)

Страницы