Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
()
T
21
)( , ... ),( ),()(C xCxCxCx
n
= – вектор-столбец неизвестных функций.
3. Подставим вектор-функцию (11.12) в неоднородную систему (11.1) (мы хотим, чтобы вектор-функция (11.12) была
решением неоднородной системы (11.1), следовательно, она должна удовлетворять этой системе) :
[
]
[
]
)()C()(Y)(A)C()(Y xfxxxxx +=
′
. (11.13)
Заметим, что
[
]
)(C)(Y)C()(Y)C()(Y xxxxxx
′
+
′
=
′
. (11.14)
Действительно,
[]
=
′
=
′
∑∑
==
T
11
1
)()( , ... ,)()()C()(Y
n
k
n
k
knkkk
xCxyxCxyxx
[][ ]
=
′
+
′′
+
′
=
∑∑
==
T
11
11
)()()()(, ... ,)()()()(
n
k
n
k
knkknkkkkk
xCxyxCxyxCxyxCxy
+
′′
=
∑∑
==
T
11
1
)()(, ... ,)()(
n
k
n
k
knkkk
xCxyxCxy
=
′′
+
∑∑
==
T
11
1
)()(, ... ,)()(
n
k
n
k
knkkk
xCxyxCxy
)(C)(Y)(C)(Y xxxx
′
+
′
.
Собирая начало и конец записи, получаем формулу (11.14).
В силу (11.9)
[
]
)(C)(Y)(A)(C)(Y xxxxx
=
′
. (11.15)
В силу сочетательного свойства матриц [2.2, с. 16]
[
][]
)(C)(Y)(A)(C)(Y)(A xxxxxx
=
. (11.16)
В силу (11.15), (11.16)
[]
)(C)(Y)(A)(C)(Y xxxxx
=
′
. (11.17)
В силу (11.14), (11.17)
[
]
[
]
)(C)(Y)(C)(Y)(A)(C)(Y xxxxxxx
′
+=
′
. (11.18)
В силу (11.13), (11.18)
[]
[
]
)()(C)(Y)(A)(C)(Y)(C)(Y)(A xfxxxxxxxx
+
=
′
+
,
откуда
)()(C)(Y xfxx
=
′
.
Учитывая (11.7), получаем
[
]
)()(Y)(C)(Y)(Y
11
xfxxxx
−−
=
′
,
или, в силу сочетательного свойства матриц,
11
Y ()Y()C() Y () ()
x
xx xfx
−−

′
=

. (11.19)
Заметим, что
E)(Y)(Y
1
=
−
xx , )(C)(CE xx
′
=
′
, (11.20)
где E – единичная матрица порядка n.
В силу (11.19), (11.20)
1
C() Y () ()
x
xfx
−
′
=
. (11.21)
Пусть
()
1
,1
Y() ()
n
ij
ij
xbx
−
=
=
.
Тогда скалярная запись формулы (11.21) имеет вид
)( )()()(
1
1
11
xxfxbxC
def
n
k
kk
ψ==
′
∑
=
,

Страницы