Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)( )()()(
2
1
22
xxfxbxC
def
n
k
kk
ψ==
′
∑
=
,
…………………………………….
)( )()()(
1
xxfxbxC
n
def
n
k
knkn
ψ==
′
∑
=
,
откуда
1111
)()( )( CxdxxxC +χ=ψ=
∫
,
2222
)()( )( CxdxxxC +χ=ψ=
∫
,
………………………………….
nnnn
CxdxxxC +χ=ψ=
∫
)()( )( ,
где
n
CCC , ... , ,
21
– свободные параметры.
4. Подставляя найденные функции )(, ... ),( ),(
21
xCxCxC
n
в формулу (11.11), получаем семейство решений
()
1
() () ()
n
j
jj
j
yx x C y x
=

=χ+

∑
(11.22)
неоднородной системы (11.1).
Выражение (11.22) можно записать в виде
∑∑
==
+χ=
n
j
j
j
n
j
j
j
xyCxyxxy
1
)(
1
)(
)()()()( . (11.23)
Полагая в (11.23) 0
1
=C , 0
2
=
C , … , 0=
n
C , получаем частное решение неоднородной системы (11.1)
∑
=
χ=
n
j
j
j
xyxxy
1
)(
*
)()()(
.
Тогда соотношение (11.23) принимает вид
∑
=
+=
n
j
j
j
xyCxyxy
1
)(
*
)()()(
,
следовательно, в силу теоремы 11.1 формула (11.23) даёт общее решение неоднородной системы (11.1).
Итак, для нахождения общего решения неоднородной системы (11.1) достаточно научиться находить ФСР
соответствующей однородной системы (11.2). В лекции 12 будет указан способ нахождения ФСР для однородной системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Лекция 12. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Построение фундаментальной системы решений, характеристическое уравнение, характеристические числа,
структура фундаментальной матрицы.
Частным случаем систем (11.1). (11.2) являются неоднородная и соответствующая ей однородная системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
)(A xfyy
+
=
′
, (12.1)
yy A
=
′
, (12.2)
где
()
1
() ()
n
i
i
yyx yx
=
== – неизвестная столбцовая вектор-функция независимой переменной ],[ bax ∈ ;
()
1
() ()
n
i
i
yyx yx
=
′′ ′
==
– её производная;
()
1
() ()
n
i
i
fx f x
=
= – вектор-столбец свободных членов;
()
,1
A
n
ij
ij
a
=
=
– матрица системы (12.1) с
постоянными элементами
Ρ∈
ij
a ( nji ≤≤ ,1 ).
Замечание 12.1. Если рассматривать систему (12.2) как самостоятельный объект изучения (т.е. не связывать её с
системой (12.1)), то можно считать, что
Ρ∈x .
Найдём ФСР системы (12.2). Будем искать ненулевые решения этой системы в виде

Страницы