Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

корни характеристического уравнения (12.10), а
p
rrr , ... , ,
21
– соответственно их кратности. Заметим, что
np
≤
,
nrrr
p
=+++ ...
21
. (12.12)
Пусть характеристическое уравнение (12.10) имеет n различных вещественных коней
n
λλλ , ... , ,
21
(в этом случае в
силу (12.12) кратность каждого корня равна единице, т.е. каждый корень является простым). Подставляя каждое
j
λ
(
nj ≤≤1
) в систему (12.9) и решая полученную систему, находим какое-либо её ненулевое решение
()
T
)(
)(
2
)(
1
)(
, ... , ,
j
n
jj
j
wwww = , другими словами, находим один из собственных векторов матрицы A , отвечающий
собственному значению
j
λ
. В результате, согласно формуле (12.3), получаем n решений системы (12.2):
)1()1(
1
)( wexy
xλ
= ,
)2()2(
2
)( wexy
xλ
= , … ,
)()(
)(
n
x
n
wexy
n
λ
= . (12.13)
Покажем, что решения (12.13) линейно независимы на
Ρ
.
Вронскиан
)()2()1(
)(
2
)2(
2
)1(
2
)(
1
)2(
1
)1(
1
...
........................................
...
...
)W(
21
21
21
n
n
x
n
x
n
x
n
x
xx
nx
xx
wewewe
wewewe
wewewe
x
n
n
n
λ
λλ
λ
λλ
λ
λλ
=
решений (12.13) при 0=x принимает вид
)()2()1(
)(
2
)2(
2
)1(
2
)(
1
)2(
1
)1(
1
...
........................
...
...
)0W(
n
nnn
n
n
www
www
www
=
.
Известно [2.4, с. 168], что система собственных векторов матрицы, отвечающих различным собственным значениям,
линейно независима. Следовательно, определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля. В силу
сказанного
0)0W( ≠ . Значит, по следствию 10.2 решения (12.13) линейно независимы на
Ρ
, т.е. образуют ФСР однородной
системы (12.2).
Фундаментальная матрица однородной системы (12.2), соответствующая ФСР (12.13), имеет вид
=
λ
λλ
λ
λλ
λ
λλ
)()2()1(
)(
2
)2(
2
)1(
2
)(
1
)2(
1
)1(
1
...
........................................
...
...
)Y(
21
21
21
n
n
x
n
x
n
x
n
x
xx
n
x
xx
wewewe
wewewe
wewewe
x
n
n
n
.
В силу теоремы 10.3 общее решение однородной системы (12.2) имеет вид
()
∑
=
λ
==
n
j
j
x
jn
weCyyyy
j
1
)(
T
21
, ... , , , (12.14)
где
j
C ( nj ≤≤1 ) – свободные параметры.
В силу формулы (11.8) скалярная запись общего решения (12.14) однородной системы (12.2) имеет вид
=
=
=
∑
∑
∑
=
λ
=
λ
=
λ
.
.............................
,
,
1
)(
1
)(
2
2
1
)(
1
1
n
j
j
n
x
jn
n
j
j
x
j
n
j
j
x
j
weCy
weCy
weCy
j
j
j
(12.15)
Пример 12.1. Найдём общее решение однородной системы
+=
′
+=
′
, 64
, 24
212
211
yyy
yyy
(12.16)
где )(
11
xyy = , )(
22
xyy = – неизвестные функции.

Страницы