Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Найдём собственные значения матрицы
=
64
24
A
системы (12.16), т.е. найдём корни характеристического уравнения
0
64
24
=
λ−
λ
−
(12.17)
системы (12.16). Раскрывая определитель в левой части (12.17), получаем квадратное уравнение
01610
2
=+λ−λ ,
имеющее два различных вещественных корня 2
1
=
λ , 8
2
=
λ
. Найдём собственные векторы матрицы
A
, отвечающие
собственным значениям
2
1
=λ , 8
2
=λ :
2
1
=λ :
=−+
=+−
0 )26(4
02)24(
21
21
ww
ww
0
21
=
+
⇔
ww
−=
∈αα=
⇔
.
, ,
12
1
ww
w
Ρ
В качестве собственного вектора, отвечающего собственному значению 2
1
=
λ
, можно взять вектор
T)1(
)1; 1( −=w
.
8
2
=λ :
=−+
=+−
0 )86(4
02)84(
21
21
ww
ww
02
21
=
+
−
⇔
ww
=
∈αα=
⇔
. 2
, ,
12
1
ww
w
Ρ
В качестве собственного вектора, отвечающего собственному значению 8
2
=
λ
, можно взять вектор
T)2(
)2; 1(=w
. В силу
(12.13) ФСР системы (12.16) имеет вид
(
)
T
22)1()1(
;)(
1
xx
x
eewexy −==
λ
,
(
)
T
88)2()2(
2 ;)(
2
xx
x
eewexy ==
λ
.
Тогда фундаментальная матрица системы (12.16) имеет вид
−
=
xx
xx
ee
ee
x
82
82
2
)(Y
.
Общее решение системы (12.16) находим по формуле (11.8) :
()
+−
+
=
−
===
xx
xx
xx
xx
eCeC
eCeC
C
C
ee
ee
xyyy
8
2
2
1
8
2
2
1
2
1
82
82
T
21
2
2
C)(Y ,
,
т.е.
+−=
+=
, 2
,
8
2
2
12
8
2
2
11
xx
xx
eCeCy
eCeCy
где
1
C ,
2
C – свободные параметры.
Среди корней характеристического уравнения (12.10) могут оказаться комплексные числа. Пусть
β
+
α
=λ i – простой
комплексный корень характеристического уравнения (12.10). Подставляя это
λ
в (12.9) и решая получаемую систему,
найдём какое-либо её ненулевое решение
()( )
T
2211
T
21
, ... , , , ... , ,
nnn
iiiwwww ν+µν+µν+µ== ,
которое можно записать в виде ν+µ
=
iw , где
(
)
T
21
, ... , ,
n
µµµ=µ ,
(
)
T
21
, ... , ,
n
ννν=ν . В результате, согласно формуле
(12.3), получаем комплекснозначное решение системы (12.2)
(
)
T
2211
)(
, ... , ,)(
nn
xi
iiiexy ν+µν+µν+µ=
β+α
. (12.18)
Замечание 12.2. Векторы µ ,
ν
линейно независимы.
Действительно,
β+α=λ i и ν+µ
=
iw удовлетворят уравнению (12.7) :
))(()(A
ν
+
µ
β
+
α
=
ν
+
µ
iii .
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем

Страницы