Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, )(A)( xuxu =
′
, )(A)( xvxv =
′
, т.е. вектор-функции )(xu и )(xv являются решениями системы (12.2).
Показано, что действительная и мнимая части комплекснозначного решения (12.18) системы (12.2) являются
решениями этой системы.
Таким образом, простой комплексный корень
β
+
α
=
λ
i характеристического уравнения системы (12.2) порождает два
вещественнозначных решения (12.22), (12.23) этой системы.
Замечание 12.3. Решения (12.22), (12.23) системы (12.2) линейно независимы на
Ρ
.
Действительно, : эти решения линейно зависимы на
Ρ
, т.е.
∃
их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю
на
Ρ : 0)()(
21
=+ xvCxuC , ∀Ρ∈x , в частности, 0)0()0(
21
=
+
vCuC .
Заметим, что
()
µ=µµµ=
T
21
, ... , ,)0(
n
u ,
()
ν=ννν=
T
21
, ... , ,)0(
n
v .
Имеем 0
21
=ν+µ CC . Получили нетривиальную линейную комбинацию векторов
µ
,
ν
, равную нулю. Следовательно,
векторы
µ , ν линейно зависимы, что противоречит утверждению замечания 12.2. .
Из курса алгебры известно [2.5, с. 160], что если комплексное число является корнем кратности
r
многочлена с
действительными коэффициентами, то сопряженное ему число тоже является корнем кратности
r
этого многочлена.
Поэтому, если
β+α=λ i – простой комплексный корень характеристического уравнения (12.10), то β−α=λ i тоже является
простым корнем этого уравнения. Корень
β−α=λ i порождает два вещественнозначных решения системы (12.2)
(
)
T
11
sincos, ... , sincos)(
~
xxxxexu
nn
x
βν+βµβν+βµ=
α
, (12.28)
(
)
T
11
sincos, ... , sincos)(
~
xxxxexv
nn
x
βµ−βνβµ−βν=
α
, (12.29)
(формулы (12.28), (12.29) получены соответственно из формул (12.22), (12.23) заменой в них β на β− ).
Если формировать ФСР системы (12.2), то одновременно включать в неё решения (12.22), (12.23) и решения (12.28),
(12.29) нельзя, ибо система этих четырёх решений не является линейно независимой на
Ρ . Действительно, при 0
=
x
получаем систему векторов
µ
=)0(u , ν=)0(v ,
µ
=
)0(
~
u ,
=
)0(
~
v , которая линейно зависима, ибо,
0)0(
~
1)0(
~
1)0(1)0(1
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅ vuvu .
Поэтому будем в дальнейшем сопоставлять паре простых комплексно сопряжённых корней
β
+
α=λ i , β−α=λ i
характеристического уравнения системы (12.2) два линейно независимых на
Ρ
вещественнозначных решения вида (12.22),
(12.23) системы (12.2).
Пусть характеристическое уравнение системы (12.2) имеет n различных корней, среди которых
m2 комплексных
корней
111
β+α=λ i ,
111
β−α=λ i ,
222
β+α=
λ
i ,
222
β−α=λ i , …,
mmm
i
β
+
α
=
λ
,
mmm
iβ−α=λ , и mn 2− вещественных
корней
12 +
λ
m
,
22 +
λ
m
, … ,
n
λ . Сопоставим каждой паре простых комплексно сопряжённых корней
jjj
iβ+α=λ
,
jjj
iβ−α=λ ( mj ≤≤1 ) два линейно независимых на
Ρ
вещественнозначных решения системы (12.2), которые в силу
формул (12.22), (12.23) имеют вид
=)(
)(
xu
j
()
T
)()()(
1
)(
1
sincos, ... , sincos xxxxe
j
j
nj
j
nj
j
j
j
x
j
βν−βµβν−βµ=
α
, (12.30)
=)(
)(
xv
j
()
T
)()(
)(
1
)(
1
sincos, ... , sincos xxxxe
j
j
nj
j
nj
j
j
j
x
j
βµ+βνβµ+βν=
α
. (12.31)
Каждому простому вещественному корню
i
λ ( nim
≤
≤
+
12 ) поставим в соответствие согласно формуле (12.3) одно
вещественнозначное решение
)()(
)(
i
x
i
wexy
i
α
= , (12.32)
где
()
T
)(
)(
2
)(
1
)(
, ... , ,
i
n
ii
i
wwww = – собственный вектор матрицы A , отвечающий собственному значению
i
λ
. Объединяя
решения (12.30) – (12.32), получаем n решений системы (12.2) :
)(
)1(
xu , )(
)1(
xv ,…, )(
)(
xu
m
, )(
)(
xv
m
, )(
)12(
xy
m+
,…, )(
)(
xy
n
. (12.33)
Известно [1.3, с. 498], что система решений (12.33) линейно независима на
Ρ
, т.е. является ФСР системы (12.2). В силу
теоремы 10.3 общее решение однородной системы (12.2) имеет вид
()
+++== ...)()( , ... , ,
)1(
2
)1(
1
T
21
xvCxuCyyyy
n

Страницы